Dejemos que $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
¿Cómo puedo mostrar que es el límite es $0$ ?
He pensado en ello:
$$\frac{xy}{\|(x,y)\|} \le \frac{xy}{|x|} \le \frac{xy}{x} \le y \to 0$$
¿Es eso correcto?
Se ve bien.
Como escribí en otro puesto Normalmente, es útil establecer $x = \rho \cos \theta$ , $y = \rho \sin \theta$ y tomando el límite como $\rho \to 0$ . Más concretamente, si encuentra que $|f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)| \le g(\rho) \to 0$ , entonces usted demostró que $f(x, y) \to 0$
En su caso
$$|f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)| = \frac{|\rho^2 \sin \theta \cos \theta|}{|\rho|} \le \rho = g(\rho) \to 0$$
por lo que su límite es efectivamente $0$
Para su segunda instancia, tendría $ \frac{t \ \cdot \ t}{\sqrt{t^2 \ + \ t^2}} \ \ = \ \ \frac{t^2}{t \ \sqrt{2}} \ \ = \ \ \frac{t}{ \sqrt{2}} \ $ que también será cero cuando $ \ t \ \rightarrow \ 0 \ $ .
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Observe que $\;\left|\frac x{|x|}\right|\le 1\;$ está acotado, por lo que $$\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\le\frac x{|x|}y\xrightarrow[y\to 0]{}0$$ como tiempos acotados algo que va a cero va a cero.