Teorema de Stokes en la RG

Question

Leí esta fórmula en el libro de GR de Sean Carroll:

$$\int_{\Sigma}\nabla_{\mu}V^{\mu}\sqrt{g}d^nx~=~\int_{\partial\Sigma}n_{\mu}V^{\mu}\sqrt{\gamma}d^{n-1}x$$

donde n es el vector 4 ortogonal a la hipersuperficie $\partial\Sigma$ y $\gamma$ la métrica inducida definida por

$$\gamma_{ij} = \partial_i X^{\mu}\partial_jX^{\nu}g_{\mu\nu}.$$

El único problema que tengo es con la aparición de esta métrica inducida, porque tengo la fórmula

$$\int_{\Sigma}\nabla_{\mu}V^{\mu}\sqrt{g}d^nx=\int_{\Sigma}\partial_{\mu}(V^{\mu}\sqrt{g})d^nx$$

que entonces debería darme directamente

$$\int_{\partial\Sigma}n_{\mu}V^{\mu}\sqrt{g}d^{n-1}x$$

por el clásico Teorema de Stokes . Estaba pensando que puede ser algo con el elemento diferencial: pasar de $d^nx$ a $d^{n-1}x$ obligó a la aparición de esta métrica indecisa pero no logré averiguar cómo hasta ahora.

Answer 1

Hay un par de problemas con los que te encuentras: primero, $\sqrt{g}$ forma parte de la medida de integración. Cuando se relaciona la integral sobre un colector con la integral sobre su frontera, es necesario utilizar la medida de integración apropiada para cada región. Y además, el teorema de Stokes se define en términos de una derivada covariante $\nabla_\mu$ , no una derivada de coordenadas $\partial_\mu$ .

$$\int_{\Sigma}\partial_{\mu}(\cdots)\mathrm{d}^nx \neq \int_{\partial\Sigma}(\cdots)\mathrm{d}^{n-1}x$$

Básicamente, el teorema "clásico" de Stokes, tal y como lo estás planteando, no funciona para las variedades arbitrarias, al menos no con sistemas de coordenadas arbitrarios. (Se puede conseguir utilizando coordenadas normales de Gauss, que están especialmente construidas para que la medida de integración en la frontera sea una simple "reducción dimensional" de la medida en el colector, pero en ese caso $\sqrt{\gamma} = \sqrt{g}$ .)

Lo que realmente hace el teorema de Stokes es relacionar la integral de un $n$ -sobre una frontera a la integral de su derivada exterior sobre el submanifold encerrado.

$$\int_{\partial\Sigma}\omega = \int_{\Sigma}\mathbf{d}\omega$$

Cuando vayas a aplicar esto, si $\omega$ es el dual de un campo vectorial se obtiene

$$\begin{align}\omega &= \color{blue}{n_\mu V^\mu}\color{red}{\sqrt{\gamma}\mathrm{d}^{n-1} y} \\ \mathbf{d}\omega &= \color{blue}{\nabla_\nu V^\nu}\color{red}{\sqrt{g}\mathrm{d}^{n} x}\end{align}$$

Los detalles de cómo resolver esto se encuentran en el apéndice E del libro de Sean Carroll, pero básicamente, observe que la derivada exterior hace dos cosas: reemplaza efectivamente el vector normal con una derivada covariante, y reemplaza la medida de integración de la hipersuperficie (incluyendo el factor de $\sqrt{\gamma}$ ) con la del colector.