Límite de $y=\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\ldots}}}}}$

Question

Les agradecería cualquier ayuda con este problema:

If

$$y=\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\ldots}}}}}$$

Entonces ¿cómo puedo encontrar $y^2 - y$?

No estoy seguro de si se trata de una serie geométrica o aritmética.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(y^2-5)^2=5-y$. También está claro que $ y^2 \geq 5$ y $0<y$.

Tenemos $0=y^4-10y^2+y+20=(y^2-y-4)(y^2+y-5)$.

Tenemos $y^2+y-5>0$, que $y^2-y=4$.

P.d.: Por cierto, si quieres encontrar $y$, es la raíz positiva de $y^2-y-4=0$, $\frac{1+\sqrt{17}}{2}$.

Answer 2

Definir $$ a_0=0\quad\text{y}\quad a_{k+1}=\sqrt{5+\sqrt{5-a_k}} $$ Mostrar que para $k\ge1$, $\sqrt5\le a_k\le\sqrt{5+\sqrt5}$.

Inicialmente, $0\le a_0=0\le5$.

Supongamos que $0\le a_k\le 5$. A continuación,$\sqrt5\le a_{k+1}\le\sqrt{5+\sqrt5}$. $$ \begin{align} \left|\,a_{k+1}-a_k\,\right| &=\frac{\left|\,\left(5+\sqrt{5-a_k}\right)-\left(5+\sqrt{5-a_{k-1}}\right)\,\right|}{a_{k+1}+a_k}\\ &=\frac{\left|\,\sqrt{5-a_k}-\sqrt{5-a_{k-1}}\,\right|}{a_{k+1}+a_k}\\ &=\frac{\left|\,a_k-a_{k-1}\,\right|}{(a_{k+1}+a_k)\left(\sqrt{5-a_k}+\sqrt{5-a_{k-1}}\right)}\\ &\le\frac{\left|\,a_k-a_{k-1}\,\right|}{\left(\sqrt5+\sqrt5\right)\left(\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt5}}+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt5}}\right)}\\ &\le\frac{\left|\,a_k-a_{k-1}\,\right|}{13} \end{align} $$ Por lo tanto, $a_k$ converge desde $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})=\lim_{n\to\infty}a_n-a_0 $$ converge absolutamente; es decir, $$ \sum_{k=1}^\infty\left|\,a_k-a_{k-1}\right|\le\frac{13}{12}\sqrt{5+\sqrt5} $$

Set $a=\lim\limits_{k\to\infty}a_k$. Desde $\sqrt{5+\sqrt{5-x}}$ es continua para$x\le5$,$a=\sqrt{5+\sqrt{5-a}}$, lo que significa que $$ \begin{align} 0 &=a^4-10a^2+a+20\\ &=(a^2-a-4)(a^2+a-5) \end{align} $$ Las raíces de $a^2-a-4$ $\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$ y las raíces de $a^2+a-5$$\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$. El único que se entre $\sqrt5$$\sqrt{5+\sqrt5}$$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$. Por lo tanto, $$ \lim_{k\to\infty}a_k=\frac{1+\sqrt{17}}{2} $$

Answer 3

No es una serie en todo, sólo una secuencia definida recursivamente. Aviso a los sucesivos términos de la alternancia en los medios de la muestra mediante la construcción de los términos de forma recursiva que tiene para cualquier infinitieth término de una expresión diferente para la próxima.

Compare $\{1, -1, 1, -1, ...\}$ que no converge.

Así, la secuencia sólo puede tener un límite si los valores son los mismos, independientemente de la expresión. Para probar que, sin embargo, usted necesita una manera de asegurarse de que la primera vez que se prueba es la infinitieth valor de un signo, y la segunda vez se tiene el signo contrario.

Usted necesita para poner a prueba dos secuencias para la convergencia:

$a_{k+1}=\sqrt{5+\sqrt{5-a_k}}$ $a_{k+1}=\sqrt{5-\sqrt{5+a_k}}$.

Supongamos que convergen. Desde que define la ultraperiféricas signo de ser siempre positivo, si el segundo de los dos converge a $a$, tome $\sqrt{5+a}$. Si el límite de la 1ª es el mismo que $\sqrt{5+a}$, entonces no importa si el signo en el límite es positivo o negativo, de modo que la secuencia original se define converge.