Teoría de números, posiblemente inducción matemática a utilizar.

Question

Para$n, r \in \mathbb{N}$ denote$S_r(n)$ sum$1^r + 2^r + ... + n^r$. Verifique que para todos los$n, r$:$$(n+1)^{r+1} -(n+1) = \binom{r+1}{1}S_r(n) + \binom{r+1}{2}S_{r-1}(n)+ \cdots +\binom{r+1}{r}S_1(n) Para probar esto para r, arreglé n y probé la inducción en r. Sin embargo, mis cálculos se complican y no puedo encontrar la manera de hacerlo. También he usado la identidad de Pascal para cada binomio, lo que resultó en tener$(n+1)^{r+2} - (n+1)$ LHS y$(n+1)^{r+1} -(n+1)$ RHS con algunos coeficientes y constantes. Estoy pidiendo una pista. Creo que esta tarea está relacionada con la inducción matemática, ya que está en el mismo módulo.

Answer 1

Estoy usando tu notación$$S_r(n):=\sum_{i=1}^n i^r.

Primero, tenemos ese$$(n+1)^{r+1} -1 = \sum_{m=1}^n\left( (m+1)^{r+1}-m^{r+1}\right) (es una suma telescópica).

Ahora usamos la identidad de Newton $$(m+1)^{r+1}-m^{r+1}=\sum_{i=0}^{r} \binom{r+1}{i} m^i;$ $ sumando todas estas identidades que obtenemos$$ \sum_{m=1}^n \left( (m+1)^{r+1}-m^{r+1}\right)=\sum_{m=1}^n\sum_{i=0}^{r} \binom{r+1}{i} m^i=\sum_{i=0}^{r} \binom{r+1}{i} \sum_{m=1}^n m^i=\sum_{i=0}^{r} \binom{r+1}{i}S_i(n). Pero$$\binom{r+1}{i}=\binom{r+1}{r+1-i} y$S_0(n)=n$, así que obtenemos la identidad

PS

Answer 2

Utilice la fórmula binomial;

PS

PS

PS

El LHS se envía a $$(k+1)^{r+1}= k^{r+1} + \binom {r+1}{1}k^r+ \binom {r+1}{2}k^{r-1}+...+\binom {r+1}{r}k +1$$ $(k+1)^{r+1}- k^{r+1} = \binom {r+1}{1}k^r+ \binom {r+1}{2}k^{r-1}+...+\binom {r+1}{r}k +1$$$ \sum _{k=1}^n \big [(k+1)^{r+1}- k^{r+1}\big]=\sum _{k=1}^n\bigg[\binom {r+1}{1}k^r+ \binom {r+1}{2}k^{r-1}+...+\binom {r+1}{r}k +1\bigg] que completa la prueba.