¿Cuál es el nombre de una función que se comporta de manera simétrica cuando sus argumentos se escalan?

Question

En otras palabras, hay un nombre para esta propiedad de una función de $f$: $$f(\alpha x_1,x_2,\ldots,x_n) = f(x_1,\alpha x_2,\ldots,x_n) = \ldots = f(x_1,x_2,\ldots,\alpha x_n)$$ Editar: Agradezco las respuestas recibidas; sin embargo, se centran en la identificación de las funciones que tienen esta propiedad en lugar de dar el término derecho (si es que existe). Esta pregunta es acerca de la terminología.

Aunque el conjunto de funciones con esta propiedad es bastante estrecha, me preguntaba si hay un término o de una combinación de términos que describen. Hay condiciones para que afirma de modo similar propiedades (por ejemplo, la simetría y homogeneidad/invariancia de escala); por lo que yo estaba esperando esta propiedad podría ser descrito como sucintamente.

Answer 1

El objetivo de esta respuesta es para dar una caracterización de las funciones de $f$ la satisfacción de la hipótesis de que la multiplicación de cualquiera de los coordinada por una constante fija $c$ da el mismo valor que la multiplicación de otra de las coordenadas por $c.$ Nuestro reclamo es que cualquier función es igual a alguna variable en función del producto de las variables de $f.$ [está claro, por otra parte, que las funciones de este tipo de satisfacer la hipótesis.]

Dadas las variables de $x_1,x_2,\ldots x_n.$ por cada $k$ de $1$ a $n$ deje $p_k$ el valor del producto parcial $x_1x_2\cdots x_k.$ Ahora comenzar primero con el valor de $f(p_{n-1},1,\cdots 1)$ y aplicar la relación de usar $c=x_n$ en la primera y $n$th variables para conseguir $$f(p_n,1,\ldots 1)=f(p_{n-1},1, \ldots,1,x_n.\tag{1}$$ Próximo a comenzar con el valor de $f(p_{n-2},1,\ldots 1, x_n)$ y aplicar la relación de usar $c=x_{n-1}$ en la primera y $(n-1)$st variables para llegar a $$f(p_{n-1},1,\ldots, 1, x_n) = f(p_{n-2},1,\ldots,1,x_{n-1},x_n)\tag{2}$$

Nota ahora que la combinación de $(1),(2)$ hemos demostrado que $g(p_n)=f(p_n,1,\ldots 1)$ es igual al resultado de la transferencia de $x_n$ en la última variable de la ranura, y $x_{n-1}$ en la ranura a la izquierda de la final. Parece claro (o podría inducir a) que después de hacer $n-1$ pasos de este tipo, llegamos al resultado de que la función f comenzamos con la realidad es simplemente una función del producto $p_n$ de las varibles. Es decir, $$g(x_1x_2\cdots x_n)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n.$$