Considere la inclusión de un anillo$A$ en su cierre integral$B$. El ideal de conductor$I$ se define como$I:=\{a\in A~|~aB\subseteq A\}$. Se supone que esto describe el lugar donde el mapa de normalización$\textrm{Spec}(B)\rightarrow \textrm{Spec}(A)$ no puede ser un isomorfismo.
¿Puede alguien explicarme por qué este es el caso?
¡Gracias!
Considere la posibilidad de la extensión como una breve secuencia exacta de $A$-módulos. $$ 0 \rightarrow A\rightarrow \overline{A}\rightarrow \overline{A}/A\rightarrow 0$$ Esto nos está diciendo que, para obtener una integralmente anillo cerrado, debemos extender $A$ por $\overline{A}/A$. Podemos pensar de $\overline{A}/A$ como la obstrucción a $A$ es integralmente cerrado.
La localización de los viajes con la toma integral de los cierres, así que para $p$ cualquier prime ideal en $A$, $\overline{(A_p)}=\overline{A}_{\overline{A}p}$. Desde la localización es plana, vemos que $$ \overline{(A_p)}/A_p = \overline{A}_{\overline{A}p}/A_p = (\overline{A}/A)_p$$ Por lo $(\overline{A}/A)_p$ es la medición simultánea de...
En particular, $A_p$ es integralmente cerrado (y $Spec(\overline{A}_p)\rightarrow Spec(A_p)$ es un isomorfismo) en los números primos donde $(\overline{A}/A)_p=0$. Este es el complemento del apoyo de $\overline{A}/A$ (pensamiento de manera coherente gavilla, si prefiere).
Una definición equivalente del conductor $I$ es el destructor de la $A$-módulo de $\overline{A}/A$. Por lo tanto, $Supp(I)=Supp(\overline{A}/A)$ es el complemento del conjunto de los números primos, donde la normalización mapa es un isomorfismo.
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