Digamos que nos dan un conjunto $X$ junto con una colección $\mathcal{A} \subseteq 2^X$ de subconjuntos. ¿Existe una topología $\tau$ cuyos conjuntos precompactos son exactamente $\mathcal{A}$ ? ¿Es esa topología única?
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DiGi
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Claramente $\mathscr{A}$ debe contener todos los subconjuntos finitos de $X$ y ser cerrado bajo uniones finitas. También debe ser cerrado bajo subconjuntos, ya que si $A\subseteq B$ y $\operatorname{cl}B$ es compacto, entonces $\operatorname{cl}A$ también es compacto. En particular, si $X\in\mathscr{A}$ entonces $\mathscr{A}=\wp(X)$ . Todo esto hace que $\mathscr{A}$ un ideal en $\wp(X)$ , adecuado si $X\notin\mathscr{A}$ es decir, si $X$ es compacto. Todavía no tengo claro si esta condición es suficiente, aunque sospecho que no lo es.
No es necesario que haya una topología única en $X$ haciendo $\mathscr{A}$ la familia de subconjuntos relativamente compactos de $X$ . Sea $n$ sea un número entero positivo arbitrario, y que $X_n=n\times(\omega+1)$ , donde $n$ y $\omega+1$ tienen sus topologías de orden habitual. Si $A\subseteq X_n$ , dejemos que
$$F=\big\{k<n:A\cap\big(\{k\}\times(\omega+1)\big)\text{ is infinite}\big\}\;;$$
entonces
$$\operatorname{cl}A=\big(F\times(\omega+1)\big)\cup\underbrace{\Big(A\cap\big((n\setminus F)\times(\omega+1)\big)\Big)}_{\text{finite}}$$
es compacto. Por lo tanto, si $X$ es contablemente infinito, para cada $n\in\Bbb Z^+$ existe una topología Hausdorff compacta en $X$ con exactamente $n$ puntos límite tales que cada subconjunto de $X$ es relativamente compacto.
Si en cambio dejamos que $X_n=n\times\omega$ , donde $n$ tiene la topología discreta y $\omega$ la topología cofinita, obtenemos una compacta $T_1$ -en el que todo subconjunto es compacto y el mayor número de conjuntos abiertos compactos no vacíos es $n$ por lo que la topología no es necesariamente única, incluso si requerimos $\mathscr{A}$ para ser la familia de subconjuntos compactos de $X$ .
Para otro ejemplo, dejemos que $\mathscr{A}$ sea la familia de subconjuntos finitos de $\omega+1$ , dejemos que $\mathscr{U}$ sea cualquier ultrafiltro libre en $\omega$ y que
$$\tau_\mathscr{U}=\wp(\omega)\cup\big\{\{\omega\}\cup U:U\in\mathscr{U}\big\}\;;$$
entonces $\tau_\mathscr{U}$ es una topología de Hausdorff en $\omega+1$ en la que los únicos conjuntos (relativamente) compactos son los finitos. Es evidente que la topología discreta es otra topología con los mismos conjuntos (relativamente) compactos.
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Pues el conjunto vacío es siempre precompacto. $\;$
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Debe haber algunas condiciones en $\mathcal A$ : Debería contener todos los puntos finitos, cerrados bajo unión finita. No estoy seguro de qué más se necesita.
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Esto puede depender de si se entiende que la compacidad incluye a Hausdorff o no en su definición.
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Puede haber dos significados de un conjunto precompacto del espacio $X$ : un conjunto con el cierre compacto o un conjunto contenido en un compacto. Si $X$ es Hausdorff, entonces estos significados coinciden.
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"Realmente sólo había un dinosaurio, pero cada paleontólogo ensamblaba sus huesos a su manera". La singularidad de la topología reconstruida $\tau$ falla para cada conjunto infinito $X$ incluso cuando asumimos adicionalmente que $(X,\tau)$ es un espacio compacto de Hausdorff, porque para cada espacio de este tipo $\mathcal A=2^X$ .