Acabo de leer una prueba de que
Si $M$, $N$ son suaves colectores con el límite y $f: \partial M\rightarrow \partial N$ es un diffeomorphism, a continuación, $M \cup_f N$ tiene un suave colector de estructura tal que el obvio mapas de $M \rightarrow M \cup_f N$ $N \rightarrow M \cup_f N$ son suaves imbeddings.
La prueba de que he leído usa collar de los barrios de los dos límites para identificar un barrio de la frontera común en el nuevo colector con un producto de la frontera común y en un intervalo.
Esto me dejó pensando acerca de la singularidad de la suave estructura. Al principio pensé que debe ser único y traté de demostrar que el mapa de identidad es liso, pero no podía mostrar fluidez en puntos de la frontera común. A continuación, la idea de una descomposición de un exótico esfera en dos hemisferios me hizo pensar que tal vez la singularidad no es garantizado. Pero entonces yo no estaba seguro de si los hemisferios seguían $smooth$ submanifolds cuando se cambia a la exótica suave de la estructura. Alguien me puede ayudar por que me decía si siempre tenemos la singularidad y si es así es fácil ver que el mapa de identidad será suave en los puntos en la frontera común de M y N? Muchas gracias por su tiempo.
