Cómo probar esta desigualdad $ x + \frac{1}{x} \geq 2 $

Question

Me pidió que probar que:

$$x + \frac{1}{x}\geqslant 2$$

para todos los valores de $ x > 0 $

Traté de sustitución de números aleatorios en $x$ y me hizo llegar la respuesta mayor que $2$. Pero tengo la sensación de que esta es una manera poco profesional de probar esto. Entonces, ¿cómo puedo probar esta desigualdad?

Answer 1

Para $x\gt 0$ tienes $$x+\frac{1}{x}-2 = \frac{x^2}x+\frac1x-\frac{2x}x= \frac{x^2-2x+1}{x} = \frac{\left(x-1\right)^2}{x} \geq 0 $$

Answer 2

Este post es debido a la razón de que nadie elaborado el AM-GM técnica, y cualquier principiante no saber, este método puede obtener ayuda para aprender este método de prueba.

$\dfrac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge \sqrt{x\cdot \dfrac{1}{x}} \implies x+\dfrac{1}{x}\ge 2$

Por favor, tenga en cuenta que esto es una consecuencia directa de un cuadrado perfecto es siempre significativa.

Answer 3

Desde $x\gt 0$, se pueden multiplicar a través de por $x$ a claro fracciones sin cambiar el sentido de la desigualdad. Esto le da $$x^2+1\ge2x$$Subtract $2x$ from each side:$$x^2-2x+1\ge0$$ or $$(x-1)^2\ge0$$ Which is true, with equality only if $x=1$ ya que las plazas son no negativos.

Ahora tenga en cuenta que cada uno de estos pasos puede ser revertido para que nos lleve desde la última sentencia, de la que sabemos para ser verdad, a la declaración en su pregunta, que quieres demostrar. Desde $x\gt0$ puede dividir por $x$. Escribir cuidadosamente y usted tendrá su prueba.

Answer 4

$$x + \frac1{x} - 2 = \left(\sqrt{x} - \sqrt{\frac1{x}}\right)^2$$

$$x + \frac1{x} - 2 \geqslant 0$$

Q. E. D. tenga en cuenta que esto es simplemente una manera diferente de escribir el conocido $A.M \geqslant G.M$

Answer 5

Considere la función $$f(x)=x + \frac{1}{x}$$ Its first derivative $$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$$ cancels for $x=1$ and $f(1)=2$ is then an extremum. Its second derivative is $$f''(x)=\frac{2}{x^3}$$ is positive. Then $x=1$ corresponde a un mínimo y la desigualdad es siempre satisfecho.