¿Cómo resolver la integral: $\int \frac{\sin x}{\tan^2x+\cos^2x}\,dx$

Question

Como dice el título, quiero saber cómo resolver esta integral: $$\int \frac{\sin x}{\tan^2x+\cos^2x}\,dx.$$ I tried to write everything as $\cos x$ and I got that the integral is equal to: $$\int \frac{\sin x\cos^2x}{\cos^4x-\cos^2x+1}\,dx.$$ I tried to substitute $\cos x=t \implica -\sin x \,dx=dt$ and I got the integral: $$-\int \dfrac{t^2}{t^4-t^2+1}\,dt,$$ que no sé cómo resolver. Es todo lo que he hecho hasta ahora, a la derecha o puedo hacerlo de otra manera que es más rápido o más fácil?

Answer 1

Has hecho bien. Para el resto, el uso de la descomposición $$t^4-t^2+1=t^4+2t^2+1-3t^2=(t^2+1)^2-3t^2\\ =(t^2+\sqrt{3}t+1)(t^2-\sqrt{3}t+1).$$