Bianchi identidad prueba : ¿por qué podemos considerar $[X,Y]=[Y,Z]=[X,Z]=0$?

Question

Recuerdo que la curvatura de Riemann tensor definido por $$\begin{align*} R:\Gamma(M)\times \Gamma(M)\times \Gamma(M)&\longrightarrow \Gamma(M)\\ (X,Y,Z)&\longmapsto [\nabla _X,\nabla _Y]Z-\nabla _{[X,Y]}Z. \end{align*}$$ Observe que $\nabla$ denotar Levi-Civita conexión. Denotamos $$R_{XY}:\Gamma(M)\longrightarrow \Gamma(M)$$ por $$R_{XY}Z=R(X,Y,Z).$$

Queremos demostrar que $$R_{XY}Z+R_{YZ}X+R_{ZX}Y=0.$$ La prueba de inicio por : podemos suponer WLOG que $[X,Y]=[Y,Z]=[X,Z]=0$.

Pregunta : realmente no entiendo por qué tenemos que suponer que. Mi profesor me dijo que siempre podemos utilizar un sistema de coordenadas donde el soporte se desvanecen, pero no entiendo por qué. ¿Tiene alguna explicación ?

Answer 1

Su explicación del maestro significa que: Para cualquier sistema de coordenadas local de $(x,U)$ de % de $M^n$ alrededor de un punto de $p$, que siempre se puede escribir

$$X=\sum_{i=1}^{n}X_i\frac{\partial}{\partial x_i} \hspace{1cm}Y=\sum_{j=1}^{n}Y_j\frac{\partial}{\partial x_j}\hspace{1cm}Z=\sum_{k=1}^{n}Z_k\frac{\partial}{\partial x_k}$$ y así sucesivamente ...

Por lo tanto, si usted hacer un simple cálculo utilizando las propiedades del soporte que va a tener $$\bigl[\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j}\bigr]=0$$ para cualquier $i,j=1\ldots n$