Puedo probar la continuidad de una función de dos variables de este modo?

Question

Enfoque común en el manejo de funciones de dos variables es para expresar esta función en el sistema de coordenadas polares. Por ejemplo, en el ejemplo clásico $$f(x,y)=\left\{\begin{array}{lr}\frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0)\\0 & \text{otherwise}\end{array}\right.$$ say $x=r\cos(\phi)$ and $y=\sin(\phi)$, and then we can write $f(r, \phi)=\frac{r^2\sin(\phi)\cos(\phi)}{r^2(\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi))}=\frac{1}{2}\sin(2\pi)$. Now if we let $r\rightarrow 0$, then it and, for example, $\phi=\frac{\pi}{4}$, the $$\lim_{r\rightarrow 0}f(r, \frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\neq 0$$ so $f$ isn't continuous in $(0,0)$.

Ahora estoy dada una función de $$f(x,y)=(x+y)\exp(xy)$$ Ya que esta función es la composición de funciones continuas, debe ser continua, pero quería preguntar en común: antes he utilizado coordenadas polares para indicar que la función no es continua, por lo que puedo utilizar el mismo enfoque para decir que la función es continua, que es: $$\lim_{r\rightarrow0}f(r,\phi)=\lim_{r\rightarrow0}r(\cos(\phi)+\sin(\phi))\exp(r^2\sin(\phi)\cos(\phi))=0$$ así que la función debe ser continua, o no es suficiente?

Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, eso debería ser suficiente. Mientras que usted está seguro de tomar una arbitraria $\phi(r)$ (continuo, por supuesto) para que su ángulo (que servirá para parametrizar el camino de $\Bbb R^2$ hacia el punto), usted puede tomar el límite de $r\to 0$ a ver si depende de $\phi(r)$. Si no, entonces no hay ninguna dependencia de ruta: es decir, el límite existe, y su función es continua. Tenga cuidado sin embargo, a veces la dependencia en la ruta de acceso es sutil (mirar hacia fuera para las funciones trigonométricas en los denominadores)... sin Embargo, aquí parece que no hay ningún problema: no hay nada para detener ese $r$ frente a hacer todo lo $0$.