Supongamos $a_n$ es la secuencia de satisfacciones $a_1 = 1 = a_2$ e $a_n = {1\over2}\left(a_{n-1} + {2 \over a_{n-2}}\right)$ para $n \ge3$. Demostrar que $1\le a_n\le2$ para todos los $n \in \mathbb{N}$.
Mi intento: decidí continuar por la fuerte inducción
Los casos de Base:
Supongamos $n = 1$. A continuación,$a_1 = 1$, según se requiera.
Supongamos $n = 2$. A continuación, $a_2 = 2$ como se requiere.
Inducción de la Hipótesis: Supongamos $1\le a_i \le 2$ para $i = 1, 2, 3, \ldots, k$ para algunos $k \in \mathbb{N}$.
Inducción paso: supongamos $n = k+1$. A continuación,
$a_{k+1} = {1\over2}\left(a_{k} + {2 \over a_{k-1}}\right) = {a_k\over2} + {1\over a_{k-1}}$
Por el IH, $1 \le a_k \le 2$. por lo tanto, el ${1\over 2}\le{a_k\over2}\le 1$ e ${1\over 2} \le{1\over a_{k-1}} \le 1 $. Por lo tanto, $1 \le {a_k\over2} + {1\over a_{k-1}} \le 2$.
Es esto correcto?
