Cómo demostrar a $f(x) = \ln x$ continua demostrando primero que $f(x)$ continua en $1$, y luego mediante el uso de $\ln (xy) = \ln(x) + \ln(y)$.

Question

Tengo una pregunta que respecta a la prueba de la continuidad de la $f(x) = \ln x$.

He leído en un comentario por Pedro Tamaroff a ncmathsadist la respuesta a esta pregunta que esto puede ser probado en dos pasos:

1. primera demostración de que $f(x)$ es continua en $1$,
2. y, a continuación, mediante el uso de $\ln (xy) = \ln(x) + \ln(y)$.

Sin embargo, yo no veo cómo hacerlo.

¿Cómo es en realidad?

Answer 1

Suponga que usted ha demostrado que $f=\ln$ es continua en $1$.

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Vamos a utilizar la siguiente relación, que se cumple para cualquier $x_0 > 0$ $$ \ln(x_0+h) = \ln\left(x_0\left(1+\frac{h}{x_0}\right)\right) = \ln x_0 + \ln\left(1+\frac{h}{x_0}\right). \etiqueta{1} $$

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Para un $(\varepsilon,\delta)$ prueba: revisión de cualquier $x_0>0$, y elegir cualquier $\varepsilon > 0$. Deje $\delta_1$ ser tal que $$ \lvert\ln x - \ln 1\rvert \leq \varepsilon $$ siempre que $\lvert x-1\rvert \leq \delta_1$ (esto existe por la continuidad de $\ln$ a $1$). Ahora, establezca $\delta \stackrel{\rm def}{=} x_0\delta_1$.

Para cualquier $x>0$ tal que $\lvert x-x_0\rvert \leq \delta$, tenemos por (1) $$\begin{align} \lvert \ln x - \ln x_0\rvert &= \lvert \ln (x_0+\underbrace{(x-x_0)}_{"h"}) - \ln x_0\rvert = \left\lvert \ln\left( 1+\frac{x-x_0}{x_0}\right)\right\rvert\\ &= \left\lvert \ln\left( 1+\frac{x-x_0}{x_0}\right) - \ln 1\right\rvert \leq \varepsilon \end{align}$$ la última desigualdad desde $\left\lvert\frac{x-x_0}{x_0}\right\rvert \leq \frac{\delta}{x_0} = \frac{x_0\delta_1}{x_0} = \delta_1$.

Por lo $\ln$ es continua en $x_0$.