La convexidad de polylogarithms

Question

Quiero demostrar la siguiente proposición:

La función de $w\to (-Li_{5/2}(-e^w))^{2/5}$ es convexa en $\mathbb R$.

Y, como creo, el mismo es verdad para la función de $w\to (-Li_{p}(-e^w))^{1/p}$ para $p\ge 1$ (wiki en polylogarithm). Yo no encuentro ninguna directo de los resultados sobre este tema.

Para delimitada $w$ es posible construir una trama en, digamos, Mathematica, y ver que la proposición es verdadera no. Para $w\to\infty$ puedo encontrar el asymptotical comportamiento: $c_1w+c_2/w +\mathcal O(w^{-2})$, $c_i>0$.

Por lo tanto, dos preguntas. Es este desarrollo suficiente para garantizar la convexidad? Y qué hacer en la región donde la asymptotics no es cierto todavía? Por supuesto, que se puede construir una trama en la que una lo suficientemente grande y compacto, pero elige correctamente la última parece ser una tarea compleja, demasiado.

Calcular la segunda derivada, no aporta nada útil, o, al menos, yo puedo demostrar que la señal es constante.

$\frac{\left(-Li_p(-e^w)\right)^{1/p-2}\left(p Li_{p-2}(-e^w)Li_p(-e^w)-(p-1)(-Li_{p-1}(-e^w))^2\right)}{p^2}$

Yo estaría encantado de escuchar todas las sugerencias sobre la posible razonamiento para mi proposición.

Editar (16.05.2013) me las arreglé para probar la siguiente declaración:

Supongamos que la función de $\theta(r)=\eta(r)\eta(r-2)-\frac{r-1}{r}\eta^2(r-1)$ es positivo para $p$ e $p-1$ donde $\eta$ - Dirichlet de la función de eta, $p\ge 2$. Si la función de $w\to(- Li_{p-1}(-e^w))^{\frac{1}{p-1}}$ es convexa en $\mathbb R_+$, entonces también lo es $w\to(- Li_p(-e^w))^{1/p}$ .

Editar (17.05.2013) Por un método análogo al de mi anterior edición, se puede demostrar que la hipótesis de convexidad es verdadera para todo entero $p>0$.

Answer 1

Se puede demostrar que este hecho tiene para $p\ge 2$. La convexidad es equivalente a la positividad de la segunda derivada, que es igual a (hasta un factor positivo) a

$$\frac{p\mathcal F_p}{\mathcal F_{p-1}}-\frac{(p-1)\mathcal F_{p-1}}{\mathcal F_{p-2}},$$ donde $\mathcal F_p(w) = -Li_p(-e^w)$. Ahora tenemos que usar el formulario

$$\mathcal F_p(w)=\frac{1}{\Gamma(p)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{p-1}dt}{e^{t-w}+1}.$$ We are now in the frame of my other question (see here) with $d\mu(t) = \frac{1}{e^{t-w}+1}$. There we showed that the application $$ p\to \frac{\int_0^\infty t^p \mathrm d\mu(t)}{\int_0^\infty t^{p-1}\mathrm d\mu(t) },\quad p>1$$is monotone, which implies that $$\frac{p\mathcal F_p}{\mathcal F_{p-1}}-\frac{(p-1)\mathcal F_{p-1}}{\mathcal F_{p-2}}>0$$ and therefore $w\a (\mathcal F_p(w))^{1/p}$ is convex for $p\ge 2$.

Answer 2

Me encuentro a la búsqueda de literatura el siguiente teorema: Para el complejo número de $z$ con $|z| \le 1$ la siguiente serie infinita (la serie de la definición de la polylogarithm): $$ \sum_{k=1}^{\infty} z^k/k^{\alpha} $$ es convexa en $z$ para todos los $\alpha \ge 0$.

Esto queda demostrado en el papel J. L. Lewis, la Convexidad de una determinada serie, J. Lond. De matemáticas. Soc. 27(3) (1983), pp 435-446.

Pero no tengo acceso a ese papel. Si me pueden conseguir en el papel voy a ver si me pueden enviar una prueba aquí!