La solución de $\sin\theta -1=\cos\theta$

Question

Solucionar $$\sin\theta -1=\cos\theta$$

Pasos para resolver este:

$$\sin^{ 2 }\theta -2\sin\theta +1=1-\sin^2\theta$$

$$2\sin^{ 2 }\theta -2\sin\theta =0$$

$$(2\sin\theta )(\sin\theta -1)=0$$

$$2\sin\theta =0, \sin\theta -1=0$$

$$\quad \sin\theta =0, \sin\theta =1$$

$$\theta =0+\pi k, \theta =\frac { \pi }{ 2 } +2\pi k$$

¿Por qué es $\theta =0+\pi k$ mal?

Answer 1

SUGERENCIA:

elevando al cuadrado ambos lados, usted está recibiendo un conjunto de soluciones que es más grande que el problema original

por ejemplo, si $x^2=1$ ambos $x=-1$ e $1$ son soluciones, pero sólo desea uno de ellos

Answer 2

Al cuadrado ambos lados de una ecuación, se pueden introducir soluciones extrañas. Por lo tanto, debe comprobar que las soluciones satisfacen las ecuaciones originales (una buena idea en cualquier caso).

Cuando el cuadrado de la ecuación de $\sin\theta - 1 = \cos\theta$, y descubrió que la ecuación resultante fue satisfecho al $\sin\theta = 0$ o $\sin\theta = 1$.

En el intervalo de $[0, 2\pi)$, la ecuación de $\sin\theta = 0$ está satisfecho al $\theta = 0$ o $\theta = \pi$. Si $\theta = 0$, luego

$$\sin(0) - 1 = 0 - 1 = -1 \neq 1 = \cos(0)$$

por lo $0$ es una solución extraña. Por otro lado, si $\theta = \pi$, luego

$$\sin(\pi) - 1 = 0 - 1 = -1 = \cos(\pi)$$

por lo $\theta = \pi$ es una solución válida.

En el intervalo de $[0, 2\pi)$, la ecuación de $\sin\theta = 1$ está satisfecho al $\theta = \dfrac{\pi}{2}$. Al $\theta = \dfrac{\pi}{2}$,

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

Por lo tanto, $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ es una solución válida.

Por lo tanto, la solución general de la ecuación de $\sin\theta - 1 = \cos\theta$ es

$$\theta = \begin{cases} \pi + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}\\ \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z} \end{casos}$$

Answer 3

$$\begin{align} \sin(\theta)-\cos(\theta)&=1\\ \sin(\theta)\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos(\theta)\frac{1}{\sqrt{2}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \sin(\theta)\sin(\pi/4)-\cos(\theta)\cos(\pi/4)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\cos(\theta+\pi/4)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \cos(\theta+\pi/4)&=-{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ \theta+\pi/4&=(2k+1)\pi\pm\frac{\pi}{4}\\ \theta&=(2k+3/4)\pi\pm\frac{\pi}{4}\\ \theta&=(2k+1/2)\pi\qquad\text{or}\qquad(2k+1)\pi \end{align}$$

Pensando en el círculo unitario como una brújula, estas soluciones son "norte" y el "oeste".

Answer 4

Evitar el cuadrado como motivada por N. F. Taussig.

$$\sin\theta=1+\cos\theta$$

El uso de doble ángulo de fórmulas,

$$2\sin\dfrac\theta2\cos\dfrac\theta2-2\cos^2\dfrac\theta2=0$$

$$\iff2\cos\dfrac\theta2\left(\sin\dfrac\theta2-\cos\dfrac\theta2\right)=0$$

Ahora, el producto de dos términos es igual a cero,

Si $\cos\dfrac\theta2=0,\dfrac\theta2=(2n+1)\dfrac\pi2\iff\theta=(2n+1)\pi$

Otra cosa $\sin\dfrac\theta2-\cos\dfrac\theta2=0\iff\sin\dfrac\theta2=\cos\dfrac\theta2\iff\tan\dfrac\theta2=1$

Ahora si $\tan x=\tan A,x=m\pi+A$

donde $m,n$ se entero arbitrario

Answer 5

el uso que $$\sin(\theta)=2\,{\frac {\tan \left( \theta/2 \right) }{1+ \left( \tan \left( \theta /2 \right) \right) ^{2}}}$$ y $$\cos(\theta)={\frac {1- \left( \tan \left( \theta/2 \right) \right) ^{2}}{1+ \left( \tan \left( \theta/2 \right) \right) ^{2}}}$$