La compacidad del conjunto de los términos en una convergentes (sub)red y su límite

Question

En un topológico de Hausdorff espacio, vamos a net $(x_d)_{d \in D}$ convergen a $x$. El conjunto $$ (\cup_{d \D} \{x_d\}) \cup \{x\} $$ compuesta de sus términos y el límite no necesita ser compacto: en $\mathbb{R}$ con su habitual topología de la red de racionales en $[0,1]$ con el estándar de orden converge a $1$, sin embargo, $[0,1] \cap \mathbb{Q}$ no es compacto.

Pero hay siempre una subred de $(x_d)_{d \in D}$ cuyos términos y condiciones, junto con límite de $x$, forma un conjunto compacto?

Me encontré con esta afirmación en un artículo reciente, pero no veo cómo probar esto.

Answer 1

Vamos a probar esto: $X = [0,\omega_1]$ un conjunto de ordinales en el orden de la topología, donde $\omega_1$ es el menos incontables ordinal. Deje $D \subseteq X$ ser todos de la no-límite de los números ordinales. Que está dirigido en su orden habitual, la neta $x_d = d$ converge a $\omega_1$. Ahora intenta encontrar su subred.