Cómo calcular el $\int{\frac{dx}{3x^2+2}}$?

Question

He empezado a hacer la $$\displaystyle\int{\dfrac{dx}{3x^2+2}}$$ pero solo me dan $$\displaystyle\int{(3x^2+2)^{-1}dx}\\ \frac{1}{6}\displaystyle\int{\frac{6x(3x^2+2)^{-1}}{x}dx}\\ $$ Y no sé cómo se resuelve esto.

Answer 1

Sugerencia. ¿Sabe usted cómo integrar $$\int\frac{1}{u^2+1}\,du\ ?$$ Si es así, se puede hacer un cambio de variable, decir $u=kx$ para algunas constantes $k$, por lo que el $3x^2+2 = 2u^2+2 = 2(u^2+1)$?

Answer 2

Si ponemos $\sqrt{\frac{3}{2}}x=t$ significa que $\mathrm dx=\sqrt{\frac{2}{3}}\mathrm dt$

$$\begin{eqnarray*} \int{\dfrac{\mathrm dx}{3x^2+2}} &=& \displaystyle \frac{1}{2}\int{\dfrac{\mathrm dx}{(\sqrt{\frac{3}{2}}x)^2+1}}\\ &=& \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}\int{\dfrac{\mathrm dt}{t^2+1}}\\ &=& \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} \arctan(t)+\text C\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)+\text C\\ &=&\frac{1}{\sqrt{6}}\arctan{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)}+\text C \end{eqnarray*}$$

Answer 3

$$\displaystyle\int{\dfrac{dx}{3x^2+2}}$$

poner $x =\sqrt{\frac{2}{3}}.\tan \theta $

$$\displaystyle\int{\dfrac{\sqrt{\frac{2}{3}}. (\sec\theta)^2. d\theta}{2+2(\tan\theta)^2}}$$

$$\sqrt\frac{1}{6}\displaystyle\int{d\theta}=\sqrt\frac{1}{6}\theta+c=\sqrt\frac{1}{6}.\arctan{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)}+c$$