Pregunta sobre conectados subespacios

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y deje $A,B\subseteq X$ ser cerrado en $X$ tal que $A\cap B$ e $A\cup B$ están conectados (en la topología de subespacio) muestran que $A,B$ están conectados (en la topología de subespacio).

Agradecería una pista hacia la solución :)

Answer 1

Supongamos $A$ fueron desconectados. A continuación, $A$ es distinto de la unión de $A'$ e $A''$ no vacía de subconjuntos cerrados de $A$.

Si $A' \cap B$ e $A'' \cap B$ son no-vacío, a continuación, $A\cap B$ se desconecta -- una contradicción.

Si $A' \cap B$ está vacía, a continuación, $A'$ e $A'' \cup B$ es una partición de $A \cup B$. Ya que todos los juegos en cuestión son cerradas, esto significa $A \cup B$ se desconecta -- una contradicción.

Answer 2

La idea general de una prueba que podría ir de la siguiente manera. Te dejo los detalles:

Deje $\mathbf{2}$ ser el de dos puntos en el espacio con la topología discreta y deje $f\colon A\to \mathbf{2}$ ser una función continua. $f|_{A\cap B}\colon A\cap B\to\mathbf{2}$ es una función continua y $A\cap B$ está conectado, por lo $f|_{A\cap B}$ es constante. Deje $g\colon B\to\mathbf{2}$ ser la constante de la función tal que $g|_{A\cap B}=f|_{A\cap B}$, entonces tenemos una función continua $f\cup g\colon A\cup B\to\mathbf{2}$ y por la conexión de $A\cup B$, $f\cup g$ es una constante. Esto demuestra que $f = (f\cup g)|_A$ debe ser constante así.