Me fue dada la siguiente como un execrise:
Demostrar que el tensor de producto de complejos línea de paquetes de más de $X$ satisface la siguiente relación: $$c_{1}(\otimes E_{i})=\sum c_{1}(E_{i})$$
No es claro para mí cómo resolver esto a través de la definición de los axiomas de las clases de Chern. Mi personal esta suposición es para otra característica de clases, excepto la Pontrajin clase (cuyo valor en la línea de los fardos deben ser $0$). Dado que el problema debe ser simple, me decido a pedir una pista aquí.
Mi pensamiento sobre otros enfoques son como sigue: dado $E_{i}\rightarrow X$ podemos formar una clasificación de paquete de $E'_{i}\rightarrow BU_{1}$, con una clasificación de mapa de $X\rightarrow BU_{1}$ tal que el principal asociado paquete de $E_{i}$ es la tire hacia atrás de $E_{i}'$. Por lo tanto es suficiente para probar este para paquetes de más de $BU_{1}$, pero cualquier línea de paquetes debe ser la tire hacia atrás de univeral línea paquete de más de $BU_{1}$. Así que es suficiente para probar este universal de línea de paquetes de más de $BU_{1}$ y su tire de espaldas a sí mismo en general. Sin embargo, incluso esto no es claro para mí.
La forma en que recuerdo, se demostró la Whitney fórmula de la suma es haciendo uso de la diagonal mapa de $$B\iota:BU_{i}\times BU_{j}\rightarrow BU_{i+j}$$ donde $U_{i},U_{j}$ están colocados en la diagonal de bloques de a $U_{i+j}$ e este mapa es el invertido por tomar la clasificación de espacio. Sin embargo, no es claro para mí cómo el mapa de $$\chi:U_{1}\times U_{1}\rightarrow U_{1}: (z,w)\rightarrow zw$$ representa el producto tensor funciona en el nivel de clasificación de los espacios. Por lo tanto, no sé cómo describir el mapa $$B\chi: BU_{1}\times BU_{1}\rightarrow BU_{1}$$ at the level of cohomology rings. It seems to me that $B\chi^{*}$ no es inyectiva en general.
Se me dio la sugerencia de que yo debería considerar el isomorfismo $$B(U_{1}\times U_{1})\cong BU_{1}\times BU_{1}$$ que he utilizado implícitamente en la prueba anterior. El profesor me pidió para demostrar esto mismo y sugirió el uso de Kunneth fórmula después. Pero aún esto no es inmediato para mí.
