¿Por qué es $(\mathbb{R}, \mathcal{P}(\mathbb{R}))$ llamado un espacio medible cuando en realidad no lo es?

Question

Me confundo cuando me pongo los siguientes tres notas juntas:

1. Juego de poder de cualquier conjunto es una $\sigma$-álgebra.
2. Si $X$ es un conjunto y $\Sigma$ es $\sigma$-álgebra sobre $X$, el par $(X, \Sigma)$ es un espacio medible.
3. Vitali conjunto es conocido como un contraejemplo que no hay ninguna medida sobre todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$.

Por (1) y (2), uno puede pensar que $(\mathbb{R}, \mathcal{P}(\mathbb{R}))$ es un espacio medible, que intuitivamente a la conclusión de que debe ser una medida de todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$. Sin embargo, (3) dice lo contrario. Alguien me puede ayudar a entender lo que está pasando?

Answer 1

Es una desafortunada elección de la terminología.

• El término medibles espacio, tomado como una sola unidad, se define el significado de un conjunto de $X$ con un elegido sigma-álgebra $\Sigma$. No es que la elección de la medida de los involucrados, y diciendo que $(X,\Sigma)$ es un espacio medible es la intención de no a la pretensión de que es posible definir una medida con la que se establezca y que sigma-álgebra (aunque, como resulta, es siempre posible: enlace).
  
  Por lo tanto, es absolutamente correcto decir que el $(\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ es un "espacio medible", pero usted no debe tomar eso como diciendo nada acerca de una medida específica, o incluso si es posible definir una medida que, a pesar de la típica semántica de la palabra "medibles".

• Cuando decimos que el conjunto de Vitali $V$ "no cuantificables", que es (implícitamente) significa con respecto a la medida de Lebesgue en el set $\mathbb{R}$ con el Lebesgue sigma-álgebra $\mathscr{L}$. En otras palabras, es una afirmación que $V\notin \mathscr{L}$.
  
  El conjunto de Vitali es no un contraejemplo a lo que dijo, porque es posible definir una medida en el conjunto de $\mathbb{R}$ con el sigma-álgebra $\mathcal{P}(\mathbb{R})$, como he señalado anteriormente (enlace).
  
  La correcta declaración es que el conjunto de Vitali muestra que uno no puede definir una medida $\mu$ a $(\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ que también satsifies ciertas propiedades deseadas (como $\mu((a,b))=b-a$, entre otros.) Es absolutamente posible definir una medida en $(\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ que hace no tener esas buenas propiedades.

Answer 2

la razón de su confusión podría ser, que se olvidó de algunas condiciones para 3.

Vitali conjuntos son un contraejemplo que no hay ninguna medida sobre todos los subconjuntos de $\mathbb R$ con las siguientes condiciones:

1. la medida de un intervalo abierto (a,b) debe ser b-a
2. la medida debe ser invariante w.r.t a la traducción
3. la medida es aditivo contables