Para (3,4), es necesario prestar atención al hecho de que las categorías son bastante algebraicas en la naturaleza: en ambas resultan ser bastante simples preguntas de aritmética, sin tener que recurrir a ningún tipo de analogía entre las flechas en las categorías y funciones de conjuntos. Para (4), el truco de la teoría de grupo para demostrar la misma cosa funciona: simplificar $gfk$ en dos formas diferentes.
Para (1,2), hay una noción útil de "generalizada elemento": cualquier flecha cuyo codominio es $X$ puede ser útil pensado como una especie de elemento de $X$. Uno puede desarrollar el lenguaje interno de una categoría en una forma que se asemeja a la teoría de conjuntos: algunos ejemplos son:
- escribir $x \in X$ a significar "$x$ es un generalizada elemento de $X$",
- si $f : X \to Y$, a continuación, escriba $f(x)$ a la media de $f \circ x$, interpretado como un elemento generalizado
- y nota: $f(x) \in Y$ como se podría esperar
- si $\mathcal{S} \subseteq X$ es un subobjeto de $X$, representados por algunos de flecha $s : S \to X$, y si $x \in X$, entonces se dice $x \in S$ si y sólo si podemos encontrar a $f$, de modo que $x = sf$.
El mejor en una categoría, la más podemos hacer que el lenguaje interno se ven como el lenguaje de la teoría de conjuntos. En un Cartesiano categoría, se pueden formar pares ordenados y conjuntos de soluciones a las ecuaciones. En un Cartesiana cerrada categoría, podemos hacer escrito cálculo lambda. El lenguaje interno de un topos resulta ser una especie de intuitionistic la teoría de conjuntos! (y un buen topos nos da la teoría de conjuntos con la lógica clásica!)
La generalización de los elementos con el dominio $1$ son a menudo llamados "elementos globales" (en la terminología que se refiere a una interpretación geométrica de la toposes). Creo que no he escuchado "punto" que se utiliza como un término general para ellas antes.
La identidad de morfismos $1_X$, cuando se interpreta como una generalización de los elemento, hace un muy buen trabajo de capturar la noción de un "elemento genérico de $X$" o de un "elemento indeterminado de $X$".
En diversas categorías específicas, podemos encontrar una noción naturalmente isomorfo al conjunto de la teoría de la noción de conjunto. por ejemplo,
- En $\mathbf{Set}$, $X$ es naturalmente isomorfo a $\hom(1, X)$.
- En $\mathbf{Top}$, el conjunto de puntos de $X$ es naturalmente isomorfo a $\hom(1, X)$ donde $1$ es el espacio con un punto.
- En $\mathbf{cRing}$, la categoría de anillos conmutativos, $|R|$ (el conjunto de elementos de un anillo de $R$) es naturalmente isomorfo a $\hom(\mathbb{Z}[T], R)$.
Hay una noción útil de un "separador". por ejemplo, en $\mathbf{cRing}$, si usted tiene dos funciones $f,g : X \to Y$ e $f \neq g$, entonces usted puede encontrar un mapa de $x: \mathbb{Z}[T] \to X$ tal que $f \circ x \neq g \circ x$. Podemos pensar en esto como diciendo que podemos distinguir desigual funciones considerando sus "valores" en la generalización de los elementos de $X$ proveniente de $\mathbb{Z}[T]$.
No cada categoría tiene un único objeto que puede desempeñar este papel: a veces se necesita conjuntos (o incluso apropiado de clases de objetos para manejar esta hazaña. La clase de todos los objetos es siempre un separador, por supuesto, ya que el elemento genérico de $X$ va a satisfacer $f \circ 1_X \neq g \circ 1_X$.
