Solución general y particular de la ecuación diferencial

Question

1) Necesito encontrar, en forma implícita, la solución general de la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx}=\frac{2y^4e^{2x}}{3(e^{2x}+7)^2}$$

2) Luego necesito encontrar la solución particular correspondiente (en forma implícita) que satisfaga la condición inicial $y=2$ y $x=0$ .

3) Luego necesito encontrar la forma explícita de esta solución particular.

Para la primera parte se me ocurrió $$-\frac{3}{y^4}\frac{ dy}{dx}= \frac{-2e^{2x}}{(e^{2x}+7)^2}$$ que es $$\frac{d}{dx} (y^{-3})=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{e^{2x}+7}\right)$$ entonces $y^{-3}=\frac{1}{e^{2x}+7} +c$

Para la parte 2) tengo $c=0$ por lo que la solución particular sería $y^{-3}=\frac{1}{e^{2x}+7}.$

Sin embargo, estoy confundido en cuanto a cómo hacer la tercera parte, ya que la respuesta que obtuve para la parte 2 parece estar en forma explícita. No estoy seguro de haber hecho la primera parte correctamente, así que necesito bastante ayuda.

Answer 1

Sugerencia

Has llegado correctamente a $$y^{-3}=\frac{1}{e^{2x}+7}$$ Por lo tanto, tomar los recíprocos que da ahora $$y^3=e^{2 x}+7$$ Elevar lhs y rhs a la potencia $\frac{1}{3}$ y lo consigues.

Answer 2

Sugerencia

Tienes un error en la segunda integración. Suponiendo que haya errores, la antiderivada de $$-\frac{2 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}+7\right)^2}$$ es $$\frac{1}{e^{2 x}+7}+C$$ Estoy seguro de que puede tomar de aquí.