tratando de comprender el panal tetraédrico disfenoide, ¿cuáles son los ángulos diedros?

Question

¿Cuáles son los ángulos diedros en un Disfenoides con cuatro triángulos idénticos, cada uno con una arista de longitud $2$ y dos aristas de longitud $\sqrt{3}$ ? Intenté buscarlo, pero no lo encontré...

Answer 1

He aquí una hedronométrico enfoque ...

Sea $a$ y $d$ sean las aristas (necesariamente opuestas) de longitud $2$ . Estas aristas son ortogonales entre sí en el espacio; además, sus proyecciones en un plano mutuamente paralelo forman las diagonales de un cuadrado de lado-longitud $\sqrt{2}$ . Este cuadrado es una "pseudo-cara" del tetraedro, y tiene área $H = 2$ .

Los otros pares de bordes opuestos ---digamos, $b$ & $e$ y $c$ & $f$ --- determinar las dos pseudo-áreas faciales restantes $J$ y $K$ . Aunque la simetría del tetraedro dicta que estas áreas deben ser iguales, los valores son un poco más difíciles de intuir que $H$ . Sin embargo, la fórmula de la suma de cuadrados nos dice que $$W^2 + X^2 + Y^2 + Z^2 = H^2 + J^2 + K^2$$ donde $W$ , $X$ , $Y$ , $Z$ son las áreas de las caras (ordinarias) del tetraedro. En este caso, por Fórmula de Heron , $W = X = Y = Z = \sqrt{2}$ . Deducimos que $J = K = \sqrt{2}$ .

Por último, si suponemos que las caras $Y$ y $Z$ se encuentran a lo largo del borde $a$ ángulo diedro límite $A$ y que $Z$ y $X$ se encuentran a lo largo del borde $b$ ángulo diedro límite $B$ entonces la ley tetraédrica de los cosenos dice $$\begin{align} H^2 &= Y^2 + Z^2 - 2 Y Z \cos A \qquad\to\qquad \cos A = \,\,0 \qquad\to\qquad A = \frac{\pi}{2} \\[4pt] J^2 &= Z^2 + X^2 - 2 Z X \cos B \qquad\to\qquad \cos B = \frac{1}{2} \qquad\to\qquad B = \frac{\pi}{3} \end{align}$$

Answer 2

Digamos que los cuatro vértices de la forma son $ABCD$ con $\overline{AB} = \overline{CD} = 2$ y el resto de los segmentos de longitud $\sqrt{3}$ . Sea $O$ denotan el punto medio de $AB$ entonces el triángulo $AOC$ es un triángulo rectángulo con hipotenusa $\sqrt{3}$ y una de las piernas $1$ . Conseguimos que $\overline{OC} = \sqrt{2}$ . Del mismo modo, $\overline{OD} = \sqrt{2}$ . Así que el triángulo $COD$ es un triángulo isósceles con dos lados de longitud $\sqrt{2}$ y el tercer lado de longitud $2$ lo que implica que es un triángulo rectángulo.

Así que uno de los ángulos diedros es $90^{\circ}$ . Ahora necesitamos calcular el ángulo entre dos caras que se encuentran en un lado de longitud $\sqrt{3}$ - por ejemplo, entre $ABC$ y $DBC$ . Una forma de hacerlo es asignar coordenadas a los vértices. Según el análisis anterior, una buena opción es $A = (-1,0,0)$ , $B = (1,0,0)$ , $C = (0,\sqrt{2},0)$ , $D = (0,0,\sqrt{2})$ .

El plano que contiene $ABC$ viene dada por la ecuación $z = 0$ y el plano que contiene $DBC$ viene dada por $x\sqrt{2} + y + z = \sqrt{2}$ . Entonces el ángulo entre los planos es igual al ángulo entre los vectores normales $\mathbf{n}_1 = (0,0,1)$ y $\mathbf{n}_2 = (\sqrt{2},1,1)$ :

$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$

De ello se deduce que el otro ángulo diedro es $60^{\circ}$ .

Answer 3

Sea $\alpha$ es el ángulo del vértice de una cara, y $\beta$ un ángulo base. Entonces, por la Ley de los Cosenos: $$\cos\alpha = \frac{-2^2 + \sqrt{3}^2 + \sqrt{3}^2}{2\cdot\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \qquad \cos\beta = \frac{2^2 - \sqrt{3}^2 + \sqrt{3}^2}{2\cdot 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ También, $$\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \qquad \sin\beta = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Cada vértice de su tetraedro está rodeado por un $\alpha$ ángulo y dos $\beta$ ángulos. Sea $A$ sea el ángulo diedro frente a ángulo de la cara $\alpha$ en un vértice; y sea $B$ ser opuesto a $\beta$ . Por el Ley esférica de los cosenos podemos calcular $$\begin{align} \cos A &= \frac{\cos\alpha-\cos^2\beta}{\sin^2\beta} = \frac{1/3-1/3}{2/3} = 0 \\[4pt] \cos B &= \frac{\cos\beta - \cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sqrt{3}/3\,(1-1/3)}{2\sqrt{12}/9} = \frac{1}{2} \end{align}$$

Por lo tanto,

$$A = \frac{\pi}{2} \qquad\qquad B = \frac{\pi}{3}$$

Answer 4

He aquí un sucio enfoque basado en coordenadas, pero que puede hacerse simplemente introduciendo la geometría de coordenadas, sin necesidad de recordar fórmulas sustancialmente más complicadas que Pitágoras. Al igual que con otras respuestas, tenga en cuenta que (por argumentos de simetría fácil, si nada más) los bordes de longitud 2 son ortogonales entre sí, lo que significa que la proyección a lo largo del eje mutuamente ortogonales a ambos, podemos utilizarlos como ejes para el plano ortogonal - en otras palabras (la elección de la $Z$ como nuestro eje de proyección y poniendo una de estas aristas en el $XY$ plano), los vértices del tetraedro son $(\pm1, 0, 0)$ y $(0, \pm1, C)$ para algunos $C$ . Ahora, Pitágoras nos da $C$ : $(\pm1)^2+(\pm1)^2+C^2=(\sqrt3)^2$ o lo que es lo mismo $C=1$ . Esto significa que los cuatro vértices del disfenoide pueden situarse en $(1,0,0)$ , $(-1,0,0)$ , $(0,1,1)$ y $(0,-1,1)$ .

Ahora, por ejemplo, podemos mirar una de las caras - por ejemplo, la que tiene vértices $A,B = (\pm1,0,0)$ y $C=(0,1,1)$ . Dos vectores dentro de esta cara son $(2,0,0)$ (que representa el borde $AB$ ) y $(1,1,1)$ (que representa el borde $BC$ ), por lo que un vector ortogonal a esta cara es $(2,0,0)\times(1,1,1)=(0,-2,2)$ y una normal es $\hat{n}_{ABC}=(0, -\frac12\sqrt2,\frac12\sqrt2)$ . Del mismo modo, una normal a la cara $ABD$ (donde $D=(0,-1,1)$ ) es $\hat{n}_{ABD}=(0, \frac12\sqrt2,\frac12\sqrt2)$ por lo que el ángulo diedro a través de la arista $AB$ es $\arccos(\hat{n}_{ABC}\cdot\hat{n}_{ABD})=\arccos(0)=\frac\pi2$ . Obviamente el diedro a través del borde $CD$ es la misma, y los diedros a través de cualquiera de las aristas "verticales" se pueden obtener de manera similar, después de encontrar, por ejemplo, una normal a la cara $ACD$ .