Llevo un par de días intentando derivar esto (que Feynman advierte que lleva mucho trabajo), sin éxito. Mi mejor derivación actual que sin embargo no da la respuesta correcta es:
En primer lugar, darse cuenta de que ir de derivados con respecto al tiempo, $t$ a unos con respecto al tiempo retardado, $t'=t - \frac{r}{c}$ necesitamos:
$$\frac{d t'}{d t} = 1 - \frac{\dot{r}}{c} \tag{1}$$
Dónde $r=|\vec{r}|=|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}(t')|$ Dónde $\vec{r}_{1}$ y $\vec{r}_{2}(t')$ son el vector de posición fija (independiente del tiempo) del punto de observación y el vector de posición retardada de la carga (en el tiempo $t'$ ), respectivamente. Y el punto representa la derivación con respecto a $t$
Los potenciales de Lienard-Wiechert son:
$$\phi(\vec{r}_{1}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}(r-\frac{\vec{v}\cdot\vec{r}}{c})}$$ $$\vec{A}(\vec{r}_{1}, t) = \frac{q\vec{v}}{4\pi\epsilon_{0}c^{2}(r-\frac{\vec{v}\cdot\vec{r}}{c})}$$
Dónde $\vec{v} = \frac{d \vec{r}_2}{d t'}|_{t'=t - \frac{r}{c}}$ es decir, la velocidad retardada estándar.
Ahora bien, conviene tener en cuenta:
$$\frac{1}{1-\frac{\vec{v}\cdot\vec{r}}{rc}} = \frac{1}{1+\frac{\frac{d r}{ dt'}}{c}} = \frac{1}{1+\frac{\dot{r}}{c-\dot{r}}} = 1-\frac{\dot{r}}{c} \tag{2}$$
Dónde hemos utilizado $(1)$ para transformar la derivada temporal.
Entonces reescribo los potenciales LW como:
$$\phi(\vec{r}_{1}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}r}\Big(1 - \frac{\dot{r}}{c}\Big)$$ $$\vec{A}(\vec{r}_{1}, t) = \frac{q\dot{\vec{r}}}{4\pi\epsilon_{0}c^{2}r}$$
Finalmente, puedo calcular el campo eléctrico:
$$\vec{E} = - \vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} = \frac{-q}{4\pi\epsilon_{0}}\bigg(\frac{-\vec{r}}{r^{3}}\Big(1 - \frac{\dot{r}}{c}\Big)-\frac{1}{rc}\vec{\nabla}\dot{r}+\Big(\big(1 - \frac{\dot{r}}{c}\big)\frac{1}{r^{2}}\frac{dr}{dt'}-\frac{1}{r}\frac{d}{dt'}\big(1 - \frac{\dot{r}}{c}\big)\Big)\frac{\vec{\nabla}r}{c}+\frac{\ddot{\vec{r}}}{c^{2}r} - \frac{\dot{\vec{r}}\dot{r}}{c^{2}r^{2}}\bigg)$$
Donde el gradiente espacial es con respecto a $\vec{r}_{1}$ y donde he tenido que derivar con respecto a $\vec{r}_{1}$ directamente y luego con respecto a $t'$ porque también depende de $\vec{r}_{1}$ a través de $r$ . Ahora, $\vec{\nabla}\dot{r} = \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}r)=\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\vec{r}}{r})$ porque estas derivadas parciales conmutan. Finalmente, puedo convertir de nuevo las derivadas temporales usando $(1)$ Así que..:
$$\vec{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\bigg(\frac{\vec{r}}{r^{3}}-\frac{\vec{r}\dot{r}}{r^{3}c}+\frac{1}{rc}\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\vec{r}}{r}\Big)+\frac{\ddot{\vec{r}}}{c^{2}r} - \frac{\dot{\vec{r}}\dot{r}}{c^{2}r^{2}} - \frac{\vec{r}}{rc}\Big(\frac{\dot{r}}{r^{2}} + \frac{\ddot{r}}{r(c-\dot{r})}\Big)\bigg) = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \bigg(\frac{\vec{r}}{r^{3}} + \frac{r}{c} \frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\vec{r}}{r^{3}}\Big)+\frac{1}{c^{2}}\Big(\frac{\ddot{\vec{r}}}{r} - \frac{\dot{\vec{r}}\dot{r}}{r^{2}}-\frac{\vec{r}\ddot{rc}}{r^{2}(c-\dot{r})}\Big)\bigg)$$
Los dos primeros términos son correctos pero el tercero, aunque cercano, no lo es (especialmente molesto es que $c-\dot{r}$ en el denominador). La ecuación real se encuentra en Conferencias de Feynman sobre Física . He encontrado un papel (páginas 22-23) que dice que la fórmula Heaviside-Feynman no se puede derivar realmente de los potenciales LW, pero no sé, creo que confío más en Feynman. ¿Alguien ha hecho esta derivación?
