Max Koecher (por ejemplo, en El Minnesota Notas sobre Álgebras de Jordan y de Sus Aplicaciones; nueva edición: Springer Notas de la Conferencia en Matemáticas, número 1710, 1999), se define un dominio de la positividad para un simétrica bilineal no degenerada forma de $B: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ en un número finito de dimensiones reales espacio vectorial $X$, a ser un conjunto abierto $Y \subseteq X$ tal que $B(x,y) > 0$ para todos los $x,y \in Y$, y de tal manera que si $B(x,y) > 0$ para todos los $y \in Y$, luego $x \in Y$. (De forma más concisa, tal vez, se podría decir que es un conjunto maximal $Y \subseteq X$ tal que $B(Y,Y) > 0$.) Aloys Krieger y Sebastián Walcher, responsable en sus notas al capítulo 1 de este libro, que "En el idioma que se utiliza hoy en día, un dominio de la positividad es un auto-dual abrir adecuada convexa de cono." [Ahora creo que esto es incorrecto; véase mi respuesta a lo que yo creo que es cierto lugar.] Es muy fácil probar que se trata de una adecuada cono convexo. (Correcto significa que no contiene un valor distinto de cero lineal subespacio de $X$, es decir, que su cierre está apuntando.) Pero, aunque tengo un vago recuerdo de haber encontrado a una prueba de una vez en un trabajo sobre homogénea auto-dual conos, no he logrado encontrar de nuevo, o en el suministro de mí mismo. Estoy bastante seguro de Krieger y Walcher la afirmación es correcta—por ejemplo, el documento de 1958 por Koecher que es generalmente citado (junto con un 1960 papel por Vin'berg) para la prueba de la célebre resultado de que el (cerrado) finito-dimensional homogénea auto-dual conos son precisamente los conos de las plazas que en lo finito dimensional formalmente álgebras de Jordan, se titula "El Geodesics de los Dominios de la Positividad" (pero en alemán).
La forma más natural para probar esto sería encontrar un positivo semidefinite degenerada $B'$, de tal manera que el cono es un dominio de positividad para $B'$ así. En principio, $B'$ podría depender del dominio de $Y$. (Mientras máxima en el subconjunto de pedido, los dominios de la positividad para una determinada forma de $B$ no son únicas.) Pero una tentadora posibilidad de, independiente de $Y$, es la transformación de una base $X$ en que $B$ es diagonal, diagonal con elementos $\pm 1$, el cambio de los signos menos a más signos, y transformar de nuevo para obtener el $B'$.
Para aclarar la cuestión: vamos a definir un cono $K$ real en un espacio vectorial $X$ a ser auto-dual iff no existe un producto interior, es decir, una positiva definida forma bilineal $\langle . , . \rangle: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$que $K = K^*_{\langle . , . \rangle}$. Aquí $K^*_{\langle . , . \rangle}$ es el doble con respecto al producto interior $\langle . , . \rangle$, que es $K^*_{\langle . , . \rangle} := \{ y \in X: \forall x \in X ~\langle y, x \rangle > 0 \}$. Así, en pedir una prueba de que el dominio de la positividad es un auto de doble cono, estamos preguntando si algún producto interior $\langle . , . \rangle$ con respecto a la cual se $K$ es auto-dual existe. Anteriormente, he considerado que el caso de $K=Y$, y llamó el interior del producto que estaba buscando, $B'$.
¿Alguien sabe, o puede alguien venir con una prueba?
