El conjunto de suave mapas de exóticos suave colectores a los reales

Question

Aquí un $M,N$ son topológico de colectores e $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ son atlas. Los corchetes $[]$ denotar la formación de la clase de equivalencia de atlas.

Deje $(M,[\mathcal{A}])$ e $(N,[\mathcal{B}])$ liso colectores exótico para cada uno de los otros ($M$ e $N$ homeomórficos, que permite decir $h(M)=N$, pero no diffeomorphic con el suave estructuras).

Me preguntaba si las siguientes afirmaciones son verdaderas.

1. $f\in C^\infty (M,[\mathcal{A}])$ no es equivalente a $f\circ h \in C^\infty (N,[\mathcal{B}])$
2. Existe una $f\in C^\infty (M,[\mathcal{A}])$ tal que no es $g\in C^\infty (N,[\mathcal{B}])$ tal que $f=g\circ h$, y de la otra manera: existe un $g\in C^\infty (N,[\mathcal{B}])$ tal que no es $f\in C^\infty (M,[\mathcal{A}])$ tal que $g=f\circ h^{-1}$.
3. Para todos los $f\in C^\infty (M,[\mathcal{A}])$ no es $g\in C^\infty (N,[\mathcal{B}])$ tal que $f=g\circ h$.

O en el más transparente de la versión con atlas cayó de notación y $M=N$ como espacios topológicos, pero todavía no diffeomorphic.

1. $C^\infty M\neq C^\infty N$
2. $C^\infty M\not\subset C^\infty N$ e $C^\infty N\not\subset C^\infty M$
3. $C^\infty M\cap C^\infty N=\emptyset$

Gracias de antemano y tal vez el diffoelogy caracterización de suavidad es útil.

Saludos

Mar

(corregido el error)

Answer 1

1. Cierto, esencialmente por la definición.

2. Falso en general. Edit: Hay ejemplos de homeomórficos pero no diffeomorphic colectores $M, N$, de modo que existe un suave homeomorphism $$h: M\N.$$ (Milnor exótico esferas de satisfacción de este.) Tenga en cuenta que, por supuesto, a la inversa de tal $h$ no es suave. Por lo tanto, el pull-back a través de $h$ define una incrustación $$h^*: C^\infty(N)\C^\infty(M), \quad h^*(\varphi)= \varphi \circ h.$$ Alternativamente, si usted toma un homeomorphism $h$ cuya inversa es suave, se puede obtener la incrustación de
   $$h_*: C^\infty(M)\C^\infty(N).$$

3. Siempre falso, tome $f$ que es constante.

Tenga en cuenta que yo era abordar aquí la cuestión en los tres primeros elementos numerados, los últimos 3 elementos numerados no tiene sentido para mí.

2ª Edición: Una cosa más, que responde a una cuestión separada por Jason (en los comentarios). Un isomorfismo de ${\mathbb R}$-álgebras $$C^\infty(N)\C^\infty(M)$$ implicará diffeomorphism de los correspondientes colectores $M$ e $N$ (sin necesidad de asumir a priori que son homeomórficos). Esto es debido a que existe una natural bijection $$C^\infty(M,N)\a Hom(C^\infty(N), C^\infty(M))$$ ver teorema 2.3 en el libro

Navarro González y Sancho de Salas, "$C^\infty$-diferenciable espacios", Springer Notas de la Conferencia en Matemáticas. vol. 1824.