Divisibilidad de la $2^n - 1$ por $2^{m+n} - 3^m$.

Question

Para qué valores de $m,n$ natural, do $2^n - 1$ es divisible por $2^{m+n} - 3^m$?

Muchas gracias.

Answer 1

La pregunta es, de hecho, equivalente a encontrar soluciones para una 1-ciclo en el Collatz-problema. Primero vamos a reescribir su divisibilidad - criterio como una expresión cofactored

$$2^n-1 = (2^{n+m}-3^m) \cdot h \qquad \qquad \text{for some integer $h \ge 1$ }\tag 1$$

A partir del estudio de los ciclos en el Collatz-problema no es el teorema:

$\qquad \qquad$ No hay soluciones de (1) con la excepción de $m=n=h= 1$ .

Hay una breve nota de Ray Steiner donde se parafrasea su refutación de la posibilidad de un trivial 1-ciclo en el Collatz-problema. Su fórmula es idéntica, salvo la nomenclatura de las variables. Él me escribió una breve nota oficiosa que puedo adaptar para el uso aquí:

Brevemente, mi 1977 prueba se ejecuta de la siguiente manera. Me limitaré a dar los pasos, no los detalles aquí.

1) Cualquier circuito para el 3x+1 problema corresponde a un número entero solución de $(k, l, h)$ de la ecuación de Diophantine $(2^{k+l} - 3^k)h = 2^l -1 \qquad \qquad (*)$

2) Para mostrar que el único entero solución de (*) es $(1,1,1)$
En primer lugar, reducir a un problema en el lineal de las formas en logaritmos:
$$0 \lt | l/k - \log_2 3/2 | \lt 1/(k \cdot \ln 2 \cdot (2^k-1))$$

3) Esto muestra que si $k \gt 4$ entonces $l/k$ debe ser convergente en la continuidad de la fracción de expansión de $\log_2(3/2)$ .

4) mediante el uso de un lexema de Legendre, uno puede demostrar que un cociente parcial de este CF debe exceder $10^{4690}$

5). El uso de Panadero, o el Rhin del teorema uno encuentra un razonable límite superior para $k$ y los denominadores de todos los convergents en este rango son todos los menores de $2500$.

Hay una mayor participación de discusión de este y extensión de 2 - 68-ciclos hecho por Juan Simons y Benne de Weger en la década del 2000. Ver las referencias que he proporcionado en la wikipedia el artículo sobre el Collatz-problema.