Demostrar que discreto espacio métrico es completa

Question

Entiendo que la prueba pero quiero confirmar. Así que en el espacio métrico discreto, cada secuencia de Cauchy es una constante de la secuencia y de esa manera cada secuencia de Cauchy es convergente secuencia. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que el discreto espacio métrico es completa. Estoy entendiendo bien?

Answer 1

Básicamente, sí. No es más que el pequeño tecnicismo de que una secuencia puede converger en un espacio métrico discreto si es sólo cofinitely constante (es decir, sólo un número finito de términos difieren de algún valor especificado).

Answer 2

Si $x_n$ es una secuencia de cauchy, entonces, para cada $\epsilon>0$ existe un $N \in \mathbb{N}$ que si $n,m$ son mayores de $N$ tienes $d(x_n,x_m)<\epsilon$. Ahora tome $\epsilon=1/2$, entonces, que existe un $N$ tal que $d(x_n,x_m)<1/2$ debido a que d es el discreto métrica, esto sólo es posible si $x_n$ es una constante para $n$ mayor que $N$

Answer 3

Sí. Si usted toma $\epsilon <1$, entonces usted va a encontrar cada secuencia de Cauchy es finalmente un constante secuencia.