Preguntas acerca de la Exponenciación, raíces y logaritmos.

Question

en esta página un par de preguntas que quiero preguntarle acerca de la Exponenciación, raíces y logaritmos:

El qué y el cómo de la Exponenciación definición puede ser definido por los números reales.?

¿Cuál es la definición general de las raíces?(¿por qué ?$\sqrt[n]{ x} = x^{ \frac{1}{n} }$)

¿Cuál es la definición de logaritmo?

En la notación de ( $\sqrt[n]{x}$ ), ¿por qué debe $n$ ser un número natural mayor que 2?

Answer 1

Vamos a definir el símbolo $a^b$ para $a>0$ y real de la $b$.

• Natural exponente Primero vamos a $b$ ser un número natural. En este caso definimos $a^b = a \cdot a \cdot a \cdots a$ para $b$ apariciones de $a$. También se $a^1 = a$ e $a^0 = 1$. Nota las propiedades: (i) $a^{b_1}\cdot a^{b_2} = a ^{b_1 + b_2}$ y (ii) $(a^{b_1})^{b_2}= a^{b_1 \cdot b_2}$.
• Positivo exponentes racionales Ahora vamos a $b$ ser racional. Supongamos $b = \frac{p}{q}$ donde $p$ e $q$ son enteros positivos en términos mínimos. Lo que debe $a^{p/q}$ significa? Si se requiere que (ii) se tiene para exponentes racionales obtenemos $$\left(a^\frac{p}{q}\right)^q = a^{\frac{p}{q}\cdot q} = a^p$$ So $a^{p/q}$ is the unique positive solution of the equation $x^q=a^p, x>0$ (1). This number is called the q-th root of $a^p$ and is denoted $\sqrt[q]{a^p}$. Therefore $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$. This number is well defined since for $x>0$ the function $y=x^p$ is well defined according to the definition for natural exponents. Moreover it is 1-1 and its image is $(0,+\infty)$ meaning exactly that equation (1) has exactly one real positive solution for each possible $a^p$. (Instead of writing $\sqrt[2]{x}$ we write $\sqrt{x}$, and instead of $\sqrt[1]{x}$ we write $x$.)
• Real de los exponentes positivos Permite generalizar a los reales positivos es decir, vamos a b ser cualquier número real positivo. Existe una secuencia $\left\lbrace b_n\right\rbrace_{n\in\mathbb{N}}$ de los racionales que converge a b a n de obtener grandes, es decir,$\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = b$. (Uno de estos es la secuencia de la expansión decimal de $b$ a $n$ dígitos. Por ejemplo, considere la secuencia de los racionales: 3, 3.1, 3.14, 3.141, $\cdots$. Esta secuencia converge a $\pi$, pero cada valor individual es racional). Definir la nueva secuencia $r_n = a^{b_n}$, para todos los $n\in\mathbb{N}$. Esto existe debido a la definición de exponentes racionales. Es comprobable que esta secuencia converge a un número real $r$ n se hace grande. Este número es la definición de $a^b$. I. e. $a^b = \lim_{n\rightarrow \infty} a ^{b_n}$ donde $\left\lbrace b_n\right\rbrace_{n\in\mathbb{N}}$ es cualquier secuencia aleatoria de racionales que converge a $b$.
• Los exponentes negativos simplemente definir ese $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$ cualquier $a,b>0$.
• Último vamos a tratar el caso en que $a=0$. Si $b>0$,, a continuación,$a^b = 0^b = 0$, y si $b\leq 0$ entonces $a^b = 0 ^b$ se deja sin definir.
• Para bases negativas de $a<0$ sólo nos definir exponentes de números enteros (b es entero) de acuerdo a la natural exponente caso y exigiendo que los $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$ mantiene.

Ahora acerca de los logaritmos, como se indica definimos $\log_a b = c$ si y sólo si $a^c =b$. Para entender la relación entre la exponenciación, logaritmos y raíces considerar la igualdad de $2^3 = 8$, lo que muestra una relación entre 2, 3, y 8:

• Para obtener 8 de 2 y 3 exponentiate: $8=2^3$
• Para obtener 2 de 8 y 3 tomar la raíz: $2 = \sqrt[3]{8}$
• Para obtener 3 de las 8 y 2 tomar el logaritmo: $3 = \log_2 8$

Perdón por la longitud. Espero que me ayudó.

Answer 2

$\log_ab=c$ se define como $a^c=b$.

$\root n\of x=x^{1/n}$ porque queremos que sea cierto que $(x^a)^b=x^{ab}$.