Alguien puede construir un ejemplo donde Lindeberg la condición mantiene pero de Lyapunov de la condición no? Este es un problema de Billingsley s/Chung libro. Muchas gracias.
Respuesta
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Considere la posibilidad de una variable aleatoria $X$ tomando valores en $\mathbb Z$ e $$P(X=i) = \frac{c}{|i|^3\log^2|i|}, i\in \mathbb Z \setminus \{0,1,-1\} $$ donde $c$ es la correcta normalización de la constante. Aviso de $E(X) = 0$ de la simetría, $\sigma^2 :=EX^2 < \infty$, y para cualquier $\delta>0$, $E(|X|^{2+\delta}) = \infty$. Deje $X,X_1,X_2, \ldots, $ ser yo.yo.d. Claramente Lyapunov condición no se cumple.
Ahora vamos a comprobar la Lindeberg condición. $s_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 = n\sigma^2$. También para todos los $\epsilon >0$, $$ \frac 1 {s_n^2}\sum_{k=1}^nE(|X_k|^2 1_{|X_k| > \epsilon s_n}) = \frac{n}{\sigma^2 n} \sum_{|i|>\epsilon \sigma \sqrt {n}}i^2 \frac{1}{|i|^3\log^2 |i|} < c \int_{c'\sqrt{n}}^\infty \frac{dz}{z\log^2z} < \int_{c"\log n}^{\infty}\frac{du}{u^2} =O\left(\frac {1}{\log n}\right) $$ Por lo tanto Lindeberg se satisface la condición.
