Hay un argumento que generaliza esta la prueba del teorema de Bézout?

Question

Dejando $C_1$ e $C_2$ dos curvas algebraicas sentado en $\mathbb CP^2$, ambos se dan cuenta de homología de clases en $H_2(\mathbb CP^2)$ y son, de hecho, representada por $n \cdot [\mathbb CP^1]$ e $m \cdot [\mathbb CP^1]$.

Si las curvas se cruzan transversalmente, entonces tenemos que $n \cdot m=[C_1]^* \smile [C_2]^*=[C_1 \cap C_2]^* \in H^4(\mathbb CP^2)$.

Por dualizing, uno se da cuenta de que $n \cdot m=[C_1 \cap C_2] \in H_0(\mathbb CP^2)$, lo que demuestra el caso del teorema de Bézout para transversal de las intersecciones.

Se puede generalizar este argumento para las curvas de intersección no transversalmente?

Mi conjetura es que a partir de este número sólo depende de la homología de la clase, uno puede perturbar esos casos, con el fin de especializar la espalda a esta prueba.

Answer 1

Esta es una buena pregunta, y es verdad que puede perturbar sin cambiar la intersección de números, mientras que los haciéndolos transversal. La pregunta crucial es ¿por qué hacer esto de los cambios de una multiplicidad $n$ intersección - un ($n-1$)-pliegue de tangencia - a $n$ positivo intersecciones. El punto es que cerca de las intersecciones de las curvas en 2-espacio, podemos modelo de la intersección como la puesta a cero de un holomorphic mapa de $\Bbb C \to \Bbb C$ (cerca de cero). Entonces sabemos que holomorphic mapas, hasta un cambio de coordenadas dado por $z \mapsto z^k$; una multiplicidad $n$ intersección corresponde a la mapa $z \mapsto z^n$. A continuación, considere la posibilidad de la homotopy $f_t(z) = z^n - t$, para $t \in [0, \varepsilon]$. Para $t > 0$, esto ha $n$ distintos ceros $t^{1/n} e^{2\pi i/n}$, todos de los cuales son positivos (holomorphic ceros siempre lo son).

Ahora la observación de que este homotopy nunca cruza por cero fuera de $|z|\leq t^{1/n}$, se puede "amortiguar sus efectos", cerca de $\infty$ para obtener una compacta compatible homotopy de $z^n$ a una función $f(z)$ es $z^n - t$ para las pequeñas $|z|$ e $z^n$ grandes $|z|$ (y el homotopy es a través de funciones idénticas a $z^n$ grandes $|z|$); No quiero escribir una fórmula, pero no es difícil ver que esto es posible. En particular, podemos cambiar el no-transversal multiplicidad $n$ ceros a $n$ positivo transversal ceros sin cambiar la curva lejos del cero en cuestión.

Ahora su argumento muestra que hay $nm$ de estos puntos.