Demuestre la regla de L'Hôspital sin el teorema del valor medio

Question

¿Existe una demostración de la regla de L'Hôspital sin recurrir al teorema del valor medio?

¿O todas las pruebas se basan esencialmente en la MVT?

Answer 1

Hay un caso especial del teorema de L'Hôpital. Suponemos que $f(c) = g(c) = 0$ , $f$ y $g$ son diferenciables en $c$ y tienen derivadas continuas. Entonces

$$\color{blue}{\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+c) - f(c)}{g(x+c) - g(c)} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{f(x+c) - f(c)}{c}}{\lim_{x \to 0} \frac{g(x+c) - g(c)}{c}} = \frac{f'(c)}{g'(c)} = \color{blue}{\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}}$$ .