Factoring primer ideales en una extensión de Galois de Q

Question

Supongamos $K$ es la división de campo de la $x^3-2$ sobre $\mathbb{Q}$, y deje $\mathcal{O}_K$ denotar su anillo de enteros. Quiero demostrar que para cualquier número primo $p$, $p\mathcal{O}_K$ no es un primer ideal de $\mathcal{O}_K$. La sugerencia que me dieron fue considerar la factorización de $x^3-2$ sobre $F_p$.

Mi pregunta(s)

Mi primer instinto fue el uso de Kummer del criterio, lo que garantiza que $p\mathcal{O}_K$ no es primo mientras $x^3-2$ es reducible (tiene una raíz) en $F_p$ [y $p>3$]. Pero, ¿cómo manejar el caso al $p=2,3$ (sospecho que ramifies, pero me parece que no puede mostrar este).

Mi segunda reacción fue que si $p\mathcal{O}_K$ es el primer en $\mathcal{O}_K$,, a continuación, $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ sería la división de campo de la $x^3-2$ sobre $F_p$, y tan solo me falta comprobar que el grado es siempre menor que $[K:\mathbb{Q}]=6$. Pero, ¿es siempre cierto en este caso que $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ es la división de campo de la $x^3-2$ sobre $F_p$?

Answer 1

Vamos a trabajar dentro de $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$. Lo que realmente debe ser fácil ver que $2$ ramifies (hay un ideal $\mathfrak{p}$ con $\mathfrak{p}^3=2\mathfrak{O}_L$). Demostrando que $3$ ramifies es un poco más complicado. Si pudiéramos encontrar un elemento de $\mathfrak{O}_L$ cuyo polinomio mínimo es de Eisenstein en $3$, que iba a hacer. Una Eisenstein polinomio en $3$ sería $$x^3+ax^2+bx+c$$ donde $a$, $b$ y $c$ son divisibles por $3$ e $c$ no es divisible por $9$. Obviamente $\sqrt[3]2$ no funciona, pero hay algo similar que hace?

Agregó Yo estaba implícitamente argumentando que, dado que los números primos $2$ e $3$ no son inertes en $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ , entonces a fortiori no son inertes en su Galois cierre de $K$. Pero no el primer permanece inerte en un no-cíclico de Galois de la extensión de un campo de número. Para un primer permanecer inerte, su descomposición grupo es todo el grupo de Galois y su inercia grupo es trivial. Pero el cociente de la descomposición del grupo por la inercia del grupo debe ser cíclico (es el grupo de Galois de la extensión de residuos de campos)....

Answer 2

En general, si el anillo de enteros de $\mathcal{O}_K$ es de la forma $\mathbb{Z}[\alpha]$, e $q(x)$ es el polinomio irreducible de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}$, entonces existe un natural bijection entre los números primos en $\mathcal{O}_K$ que se encuentran por encima de lo racional prime $p$ y el irreductible factores de $\overline{q}(x)$ en $\mathbb{F}_p$ donde $\overline{q}$ es la imagen de $q(x)$ en la reducción del modulo $p$. El bijection es que un primer $\mathfrak{p}$ de % de $\mathcal{O}_K$ se encuentra por encima de $(p)$ corresponde al factor de $\overline{Q}(x)$ si y sólo si $\mathfrak{p}$ es el núcleo del mapa $\mathbb{Z}[\alpha]\to\mathbb{F}_p[\alpha]$. Por lo que la factorización de $(p)$ en $\mathcal{O}_K$ exactamente imita la factorización de $\overline{q}(x)$ sobre $\mathbb{F}_p$: con el mismo número de factores, las mismas repeticiones, etc.

Así que usted quiere factor de $x^3-2$ sobre $\mathbb{F}_p$; esto basta aquí porque si $\alpha$ es una raíz de $x^3-2$,, a continuación, $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha]$ (ver por ejemplo el Problema 41(a)-(d) en el Capítulo 2 de Marcus Número de Campos). Edit: yo estaba trabajando en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ en lugar de la división de campo, lo siento. Pero el hecho de que se ramifican en este subextension, usted sabe que se ramifican en $K$; la única pregunta es si se ramifican como $\mathfrak{p}^6$ o $\mathfrak{p_1}^3\mathfrak{p_2}^3$, dependiendo de si el prime por encima de $p$ divisiones o ramifies, o es inerte en $K$. Ya puedes ir de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ a $K$ colindando $\omega$, y el anillo de los números enteros será, si no me equivoco, $\mathbb{Z}[\alpha][i]$, se puede utilizar el mismo teorema anterior (que tiene de arbitrario integral de las extensiones, no solo en $\mathbb{Z}$) para obtener el siguiente paso, mirando a $x^2+x+1$.

Con $p=2$, el polinomio factores sobre los $\mathbb{F}_p$ as $x^3$, lo $(2) = \mathfrak{p}^3$ para algunos prime $\mathfrak{p}$ de % de$\mathcal{O}_K$; para $p=3$, usted tiene $x^3 + 2 = x^3 - 1 = (x-1)^3$, así que de nuevo $(3)=\mathfrak{q}^3$ para algunos prime $\mathfrak{q}$ de % de$\mathcal{O}_K$.