Disposición contando problema

Question

Este es mi hijo del ejercicio: ¿de cuántas maneras distintas que 6 conejos se pueden poner en los 10 jaulas.

Me cuentan de 2 formas diferentes:

• El primer conejo puede ser en cualquier de 10 jaulas. Mismo para el segundo y así sucesivamente. Así, en total, habrá $10^6$ maneras.

• Por otro lado, me lista todos los casos posibles:

  1. 6 conejos en la misma jaula: hay $C^6_6*10=10$ formas de hacerlo.

  2. 5 conejos en la misma jaula, el otro en un lugar diferente de la jaula. Habrá: $C^6_5*10*9=540$ maneras. ($6=5+1$)

  3. 4 conejos en la misma jaula, los otros 2 en otro de la jaula. Habrá $C^6_4*10*9=1350$ maneras. ($6=4+2$)

  4. 4 conejos en la misma jaula, 1 en jaulas diferentes, 1 en otra diferente a la jaula. Habrá $C^6_4*10*9*8=10800$ maneras. ($6=4+1+1$)

  5. 3 conejos en la misma jaula, 1 en jaulas diferentes, 1 en otra diferente a la jaula y 1 en otra jaula. Habrá $C^6_3*10*9*8*7=100800$ maneras. ($6=3+1+1+1$)

  6. 3 conejos en la misma jaula, 2 en diferentes jaula, 1 en otra diferente a la jaula. Habrá $C^6_3*10*C^3_2*9*8=43200$ maneras. ($6=3+2+1$)

  7. 3 conejos en la misma jaula, 3 en jaulas diferentes. Habrá $C^6_3*10*9=1800$ maneras. ($6=3+3$)

  8. 2 conejos en la misma jaula, 2 en jaulas diferentes y 2 en otra diferente a la jaula. Habrá $C^6_2*10*C^4_2*9*8=64800 $ formas ($6=2+2+2$)

  9. 2 conejos en la misma jaula, 2 en diferentes jaula, 1 en otra diferente a la jaula y 1 en otra jaula. Habrá $C^6_2*10*C^4_2*9*8*7=453600$ maneras. ($6=2+2+1+1$)

  10. 2 conejos en la misma jaula, cada uno de los otros 4 se encuentra en jaulas diferentes. Habrá $C^6_2*10*9*8*7*6=453600$ formas ($6=2+1+1+1+1$)

  11. 6 conejos en 6 diferentes jaulas. Habrá $C^{10}_6*6!=151200$ formas

En total, habrá $1,281,700$ maneras que no coincide con el cálculo de la primera.

Podría alguien explicarme por qué?

Answer 1

Sus errores son en su 7 casos (como se ha señalado por lulu), 8 y 9.

• Un cálculo correcto de 7 (el patrón de $3+3+0+0+0+0+0+0+0+0$) serían $\dfrac{6!}{3!^2 \; 0!^8} \times \dfrac{10!}{2! \; 8!} = 900$ arreglos

• Un cálculo correcto de 8 (el patrón de $2+2+2+0+0+0+0+0+0+0$) serían $\dfrac{6!}{2!^3 \; 0!^7} \times \dfrac{10!}{3! \; 7!} = 10800$ arreglos

• Un cálculo correcto de 9 (el patrón de $2+2+1+1+0+0+0+0+0+0$) serían $\dfrac{6!}{2!^2 \; 1!^2\; 0!^6} \times \dfrac{10!}{2! \; 2! \; 6!} = 226800$ arreglos

Agregar estas otras de sus resultados y obtendrá $1$ millones de euros.