¿Es el plano complejo multiplicativo un grupo de Lie?

Question

Sé que el plano complejo es un grupo de Lie con +, pero ¿es también un grupo de Lie con la multiplicación compleja habitual?

Esto nos daría una bonita interpretación geométrica de la famosa fórmula de Euler:

Tenemos $exp:T_1\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ y $T_1\mathbb{C} \cong \mathbb{C}$ porque este último es un espacio lineal.

Además la multiplicación compleja es lineal, por lo que su diferencial es ella misma. Por lo tanto, cualquier campo vectorial invariante a la izquierda $X$ en $\mathbb{C}$ se puede obtener eligiendo un vector $X_0$ en $T_1\mathbb{C} \cong \mathbb{C}$ y utilizando la fórmula

$$ X(z) = z X_0 $$

Ahora mirando la curva

$$ t \mapsto exp(tX_0) $$

en el caso $X_0 = i$ ¡nos dan la bonita interpretación geométrica de la Fórmula de Euler!

Answer 1

La totalidad de $\mathbb{C}$ no es un grupo bajo multiplicación, pero hay un isomorfismo

$$\mathbb{C}^\times \xrightarrow{\sim}\, \mathbb{S}^1\times\mathbb{R} \;:\; w\mapsto (\arg w,\, \log|w|)$$

Ambos $\mathbb{S}^1$ y $\mathbb{R}$ son grupos de Lie, y por lo tanto también lo es $\mathbb{C}^\times$ .

Answer 2

El grupo de unidades complejas, $\mathbb{C}^*$ es, en efecto, un grupo de Lie, ya que por el análisis complejo básico, $w\mapsto zw$ es suave. Y, efectivamente, la fórmula de Euler $e^{it} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$ describe un homomorfismo de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}^*$ . (También es el mapa de cobertura universal del grupo de Lie compacto $U(1)$ que es un subgrupo unidimensional de $\mathbb{C}^*$ .)