La generalización de la derivada para el polinomio de anillos

Question

Es fácil ver por qué la derivada juega un papel importante en la real y complejo análisis desde el punto de vista geométrico. Sin embargo, se puede ampliar la definición de un derivado para el polinomio de anillos como $F_q[x] \text{ or } \Bbb Q[x]$ más de lo finito campos o racionales.

Hacemos esto por que simplemente definir $f'(x) = \sum_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1}$ donde $f(x) = \sum_{k=0}^{n}a_kx^k$ y son muy útiles, por ejemplo, un polinomio $f$ tiene múltiples raíces sólo si $f$ e $f'$ tiene un no trivial común divisor.

¿Hay algún punto de vista desde el que se tiene significado real(geométrica o de otra manera) a la derivada? Es decir, si había algún matemático que nunca habían sido expuestos a análisis, pero hizo aprender mucho de álgebra, podemos razonablemente esperar que venga con el concepto de derivada?

Answer 1

Deje $R$ ser cualquier anillo conmutativo. La derivada debe ser una función $d : R[x] \to R[x]$ con las siguientes propiedades:

• $d(x)=1$
• $d$ es $R$-lineal
• $d$ satisface la regla de Leibniz $d(f \cdot g)=f \cdot d(g) + d(f) \cdot g$

Uno puede mostrar que $d$ está determinada únicamente por estas propiedades, y en la que existe. Es decir, uno tiene $d(\sum_k u_k x^k)=\sum_k (k+1) u_{k+1} x^k$. Una adecuada generalización sobre derivaciones en arbitraria $R[x]$-módulos muestra que el módulo de Kähler diferenciales $\Omega^1_{R[x]/R}$ es libre de rango $1$. Esto dice que la tangente paquete de los afín a la línea de $\mathbb{A}^1_R$ es trivial. Este es básicamente el principio de una historia que combina métodos de geometría diferencial y geometría algebraica. En particular, Kähler diferenciales nos permiten definir suave esquemas, que son similares para suavizar los colectores.

Aquí es otro punto de vista: Para $f \in R[x]$ considera $f(x+\varepsilon) \in R[x][\varepsilon]/(\varepsilon)^2$ en el anillo de doble de los números de más de $R[x]$. Modulo $(\varepsilon)$ esto es claramente $f(x)$. Por lo tanto, existe un único polinomio $d(f)=f' \in R[x]$ tal que $f(x+\varepsilon)=f(x) + \varepsilon \cdot f'(x)$. Una más descuidado manera de escribir esto es $$f'(x)=\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}.$$ Ahora se puede derivar de las propiedades de la derivada usando esta definición, que por supuesto fuertemente nos recuerda la definición de la derivada en el análisis, y más aún en los no-estándar de análisis. La única diferencia es que el límite de $\varepsilon \to 0$ es reemplazado por un timbre específico elemento $\varepsilon$ satisfacción $\varepsilon^2=0$.

Permítanme mencionar brevemente que la derivada también tiene sentido para poder formal de la serie. De hecho, podemos utilizar el mismo caracterizaciones anteriores. En la teoría de la combinatorical especies, hay una combinatoria significado de la derivada de poder formal de la serie. Esto hace que sea posible para resolver los problemas de combinatoria por medio de ecuaciones diferenciales.

Derivados de polinomios aparecen con frecuencia. Pero no sé cómo motivar a ellos sin un poco de análisis. Tal vez, hablando en general, es una mala idea para combinar ciertas áreas de las matemáticas a cabo. Más bien, es una buena idea para combinar algunos (todos!) de ellos.