Encuentra foros recursivos para integrales.

Question

Tengo que encontrar recursve fórmulas para la solución de los dos siguientes integrales. La asignación se le dice a uno a encontrar una Expresión que nos lleva desde el cálculo de $\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}}$ para el cálculo de $\dfrac{I_{2n-2}}{I_{2n-1}}$

a) $$I_{2n} = \int_a^b \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$$

b) $$I_{2n+1} = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{1+x^2}^{2n+1}} dx$$

Este Problema se encuentra en mi mente por un par de días y ahora estoy muy pegado con ella. La idea que he venido para arriba con una) es el uso de Integración por partes:

Vamos la u' se $\frac{1}{1+x^2}$ y v ser $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$; u entonces es $tan^{-1}x$ y yo podría escribir:

$$I_{2n} = \int_a^b \frac{1}{(1+x^2)^n} dx = \int_a^b \frac{1}{1+x^2} \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}} dx$$

$$=\tan^{-1}x\cdot\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}} - \int_a^b \tan^{-1}x\cdot \frac{d}{dx} \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}} dx$$

Yo podría repetir usando Integración por partes en el lado derecho, pero no me llevan a nada útil... ¿Tiene usted alguna Idea de cómo solucionar esto?

Gracias por su ayuda de antemano!

FunkyPeanut

Answer 1

Yo podría mostrar una forma de derivar el recursiva fórmulas dadas en uno de los comentarios: Escribir $$I_{2n}=\int\frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^n}dx= I_{2n-2}-\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx$$ Tenemos que calcular la última integral. Usando integración por partes (con $u'=x/(1+x^2)^n$) tenemos $$\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx= \frac{x}{(2-2n)(1+x^2)^{n-1}}-\frac{1}{2-2n}I_{2n-2}$$ Por lo tanto, $$I_{2n}= I_{2n-2}+\frac{x}{(2n-2)(1+x^2)^n}-\frac{1}{2n-2}I_{2n-2}= \frac{2n-1}{2n-2}I_{2n-2}+\frac{x}{(2n-2)(1+x^2)^n}$$

Para el extraño índices, podemos usar el "truco" para conseguir $$I_{2n+1}=\int\frac{1+x^2-x^2}{\sqrt{(1+x^2)^{2n+1}}}dx= I_{2n-1}-\int\frac{x^2}{\sqrt{(1+x^2)^{2n+1}}}dx$$ De nuevo, la integración por partes de los rendimientos (con $u'=x/\sqrt{(1+x^2)^{2n+1}}$) $$\int\frac{x^2}{\sqrt{(1+x^2)^{2n+1}}}dx= \frac{x}{(1-2n)\sqrt{(1+x^2)^{2n-1}}}-\frac{1}{1-2n}I_{2n-1}$$ Por lo tanto, después de algunas reducciones, $$I_{2n+1}= \frac{2n}{2n-1}I_{2n-1}+\frac{x}{(2n-1)\sqrt{(1+x^2)^{2n-1}}}.$$