Si$f$ es una función continua de$R \rightarrow R$ y$f(x)=f(x+f(x))$, entonces pruebe que$f$ es constante.

Question

Si$f$ es una función continua de$R \rightarrow R$ y$f(x)=f(x+f(x))$, entonces pruebe que$f$ es constante.

Podría probar que$f(x)=f(x+f(x))=..=f(x+nf(x))$ después de$n$ iteraciones. Entonces, ¿cómo procederé?

Answer 1

Si usted sigue Andrés enlace a Un elemental funcional de la ecuación. usted va a encontrar una solución para el caso de que todos los valores de $f$ son no-negativos. Una ligera variación del argumento de las obras, en el caso general.

Inicio como: Sharkos demuestra que $h_n(x) = x + n f(x)$ es una función inyectiva de $x$ para todos los enteros $n \ge 1$. Luego de observar que una función continua sólo puede ser inyectiva si es estrictamente monótona (ya sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente). Ahora considere la infinidad de valores de $n$. Debe haber un número infinito de valores de $n$ para que $h_n$ es estrictamente creciente o infinitamente muchos de los valores de $n$ para que $h_n$ es estrictamente decreciente.

Como en Sharkos de la prueba en el hilo viejo, si hay infinitamente muchos de los valores de $n$ para que $h_n$ es estrictamente creciente, llegamos a la conclusión de que $f$ sí es no decreciente. Ahora supongamos que f no es constante. Entonces no debe existir dos puntos de $a$ e $b$ con $f(a) = A < f(b) = B$ y, además, cualquiera de las $A, B > 0$ o $A, B < 0$. (Probar eso!!!) Sin embargo, $f(a + nA) = A$ e $f(b + mB) = B$ para todos los enteros $n, m \ge 1$. La elección de cualquiera de las muy grandes $n$ o muy grande $m$, dependiendo del signo de $A$ e $B$, se puede contradecir el hecho de que $f$ es no decreciente.

Si por el contrario hay infinitamente muchos de los valores de $n$ para que $h_n$ es estrictamente decreciente, a continuación, $f$ sí no es creciente, por un argumento similar a Sharko del. Entonces la prueba se procede como en el apartado anterior.