camino más corto en un espacio métrico completo

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico completo conectado por arcos. Definimos la longitud de un camino continuo $\gamma: [0,1] \rightarrow X$ para ser \begin{equation*} \sup\limits_{0=a_{0}<a_{1}<... a_{n}=1} \sum\limits_{i=0}^{n-1} d(\gamma(a_{i}),\gamma(a_{i+1})). \end{equation*}

Si dos puntos dados están unidos por un camino de longitud finita, ¿existe necesariamente un camino de longitud mínima que los una? No sé la respuesta a esta pregunta.

Lo que sí sé es que si $X$ es compacto, entonces la respuesta es sí. Un esquema de la prueba es el siguiente: demostrar que la longitud es invariante por reparametrización, entonces que todo camino de longitud $l$ tiene un $(l+\varepsilon)$ -lipschitz reparametrización, y luego aplicar el teorema de Arzela-Ascoli. Encontré este ejercicio (con la compacta $X$ ) en un libro francés, "Analyse complexe" de Amar y Matheron.

Answer 1

Idea abstracta: conectar dos puntos $A,B$ por una familia contable de arcos $\gamma_n$ para que la longitud de $\gamma_n$ es $1+1/n$ .

Realización concreta: en el espacio de Hilbert $\ell^2$ con base estándar $\{e_0,e_1,\dots\}$ , considere los puntos $A=e_0$ , $B=-e_0$ y $C_n = (1+1/n)e_n$ para $n=1,2,\dots$ . Todos ellos están a una distancia mínima $1$ entre sí. Dejemos que $X$ sea la unión de los segmentos de línea $AC_n$ y $BC_n$ en $n=1,2,\dots$ . Este conjunto es rectificable: en efecto, se puede llegar desde cualquier punto a $A$ viajando a lo largo de dos segmentos de línea como máximo.

No hay un camino más corto desde $A$ a $B$ : viajando a lo largo de $AC_nB$ toma distancia $$2\sqrt{1+(1+1/n)^2}$$ que puede estar arbitrariamente cerca de $2\sqrt{2}$ pero nunca igual.

Completitud de $X$ se deduce del hecho de que es un subconjunto cerrado de $\ell^2$ .