6 punto situado en un círculo común

Question

$Z$ es un punto interior del segmento $XY$ . Se trazan tres semicírculos sobre los segmentos $XY$ , $XZ$ y $ZY$ en el mismo lado. Los puntos medios de los arcos son $M1$ , $M2$ y $M3$ respectivamente. Una circunferencia tangente a estos semicírculos es internamente tangente al semicírculo centrado en $M1$ . Sea su punto de tangencia $T$ . Demuestre que el punto medio del segmento $XY$ y los puntos $Z$ , $M1$ , $M2$ , $M3$ y $T$ todas se encuentran en un círculo común.

Hasta ahora he intentado usar coordenadas y ecuaciones como si $X=(0,0)$ , $XZ=a$ y $YZ=b$ entonces $Z=(a,0)$ , $Y=(a+b,0)$ , $M=(\frac{a+b}{2},0)$ , $M_1=(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2})$ , $M_2=(a,a)$ , $M_3=(a+\frac{b}{2},\frac{b}{2})$ y después aplicar la Ecuación del Círculo, pero parece bastante difícil en algunas partes. ¿Alguna otra idea? ¿O debería continuar con esto?

Answer 1

El resultado se obtendrá si tomamos un escalado particular en el que la longitud $XY$ es 2. Lo planteamos utilizando números complejos para los puntos, y el hecho de que cuatro números complejos no colineales $a,b,c,d$ están en un círculo si y sólo si la relación cruzada $$R(a,b,c,d)=\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}$$ es un número real (parte imaginaria cero).

Configure las cosas de modo que $X=-1,\ Y=1,\ M_1=i,\ Z=t$ donde $-1<t<1$ para que $Z$ es un punto real interior al segmento $XY$ . Entonces tenemos también $M=0$ et $$M_2=\frac{t-1}{2}+\frac{t+1}{2}i,$$ $$M_3=\frac{t+1}{2}+\frac{1-t}{2}i.$$ El punto $T$ puede con algo de trabajo (basado en que está en ambos $|z|=1$ y en el círculo $C$ a través de los tres $M_j$ ), se demuestre que $$T=\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{t^2+1}i.$$ Diremos algo sobre cómo esto necesita más trabajo después de que se determinen las relaciones cruzadas. Ahora calculamos las relaciones cruzadas y encontramos $$R(M,M_3,M_1,M_2)=\frac{2}{t+1},$$ un número real, de modo que estos cuatro están en un círculo $C$ y también $$R(M,Z,M_3,M_1)=\frac{-t^2-1}{t-1},$$ real y poner $Z$ también en $C$ y por último $$R(M,Z,T,M_1)=\frac{t^2+1}{1-t},$$ de nuevo real y poniendo $T$ en círculo $C.$ Así pues, los seis puntos $M,Z,M_1,M_2,M_3,T$ se encuentran en el círculo $C$ .

NOTA: He encontrado la expresión para el número complejo $T$ suponiendo que se encuentra en $C$ y en el círculo unitario. Es necesario seguir trabajando para demostrar que esta $T$ es el punto de tangencia del círculo centrado en $O$ en el diagrama con el círculo unitario. Esto puede ser complicado; lo único que se me ocurre ahora es que podemos encontrar las distancias de $O$ a los centros de los dos círculos menores, y así determinar una expresión para $O$ entonces se necesitarían más cálculos para mostrar el círculo centrado en $O$ de radio adecuado es en realidad tangente a los tres semicírculos. Así que en realidad esta respuesta sólo muestra que cinco de los seis puntos (excluyendo $T$ ) se encuentran en el círculo $C$ . Encontré que las ecuaciones no eran simples que mostrarían correctamente $T$ tiene la propiedad de tangencia requerida con respecto al círculo centrado en $O$ .

Answer 2

Me gustaría empezar al revés:

• Demuestre que las líneas $M_2M_3$ y $M_1Z$ bisecan (utilizando las coordenadas), por lo que los cuatro puntos $M_1, M_2, M_3, Z$ se encuentran en el mismo círculo.
• Por simetría, el punto $M$ se encuentra en el círculo centrado en $I$ .
• Defina el punto $T$ en la intersección entre el semicírculo mayor y el círculo centrado en $I$ .

Ahora el reto es demostrar que $T$ también está en el círculo centrado en $O$ .