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Haciendo una función por partes continua y diferenciable en el punto.

Problema:

Deje que $f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{\arctan(x)}{(1+x)^2} & : x \geq 0\\ Ae^x + B & : x < 0 \end{array} \right. $

Encontrar $A$ e $B$ tales que la función es continua y diferenciable en $x=0$.

Mi intento:

Para garantizar la continuidad en $x = 0$ me imaginé $A = B = 0$ sería la única opción. Pero esto, por supuesto, me parece muy mal, y en cualquier caso, no causa la diferenciabilidad en $x=0$.

Como lo que yo podría decir, la derivada de $\frac{\arctan(x)}{(1+x)^2}$ a $x=0$ se $1$. Mientras que la segunda pieza del derivado evalúa trivialmente a $0$.

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The Great Seo Puntos 1631

$f$ es continuo en$0$ significa que \begin{align*} \lim_{x\to0^+}f(x)&=\lim_{x\to0^-}f(x) \\\iff0&=A+B. \end {align *} Además,$f$ es diferenciable en$0$ significa que \begin{align*} \lim_{x\to0^+}f'(x)&=\lim_{x\to0^-}f'(x) \\\iff1&=A. \end {align *} (en realidad, esto es válido ya que cada parte definida por partes es suave en su dominio dado). Por lo tanto, tenemos$A=1,B=-1$.

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mookid Puntos 23569

Sugerencia: $f$ es diferenciable en 0 si tiene un vecindario de 0:

$$ f (x) = a + bx + o (x) $$

Aquí cuando$x>0$ tienes $$ f (x) = x + o (x) $$ por lo que es obligatorio que $$ a = 0, b = 1 $$

pero cuando$x<0$ tienes $$ f (x) = A (1 + x + o (x)) + B $$

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