La lágrima y el huso son malos orbifolds

Question

Que debo demostrar que la teardop $S^2(p)$ (el orbifold con superficie subyacente $S^2$ y un cono único punto de orden $p>1$) y el husillo $S^2(p,q)$ (el orbifold con superficie subyacente $S^2$ y dos de cono puntos de órdenes $p,q>1$, $p\neq q$) son malos orbifolds, que es que no son orbifold cubiertos por cualquier superficie. He trabajado fuera de la lágrima caso de utilizar un argumento que implican la característica de Euler, pero la misma idea de falla con el eje. Supongo que debe encontrar a una prueba geométrica para el eje, pero he intentado sin ningún éxito. Me podrían ayudar con eso? Gracias.

Answer 1

La idea central es que orbifolds han universal cubre, como los colectores. Así que un orbifold, $X$, está cubierto por un único conecta simplemente a cubrir. Este espacio también cubre cada conectado cubierta de $X$. Ahora un orbifold que no es un colector nunca pueden cubrir uno que es. (Cubrimiento mapa no puede destruir todos los puntos singulares, ya que la imagen de un punto singular debe ser singular.) Por lo tanto, la cobertura universal de toda buena orbifold es un colector.

¿Cuál es la cobertura universal de la lágrima? Lo de la $p \neq q$ husillo?