¿Cómo se demuestra rigurosamente que la energía potencial eléctrica de una esfera conductora con carga$Q$ es$\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0R}$

Question

¿Cómo se demuestra rigurosamente que la energía potencial eléctrica de una esfera conductora con carga$Q$ es$\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0R}$? ¿La integración es la única manera?

Supongo que la distribución de carga homogénea es asumida.

Answer 1

Vamos a mostrar que no es necesario calcular la energía almacenada en el campo electrostático por la integración. Para ello, vamos a proceder.

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Empezamos con la energía electrostática $W$ almacena como dada por

$$W=\frac{\epsilon_0}{2}\int_V \vec E\cdot \vec E \,dV \tag 1$$

donde $V$ es todo el espacio.

Ahora suponemos que el campo es inducida por una distribución de carga que residen en un conductor de volumen $V$ delimitada por la superficie de $S$. En cuanto el campo eléctrico es cero en el interior del conductor, el volumen de la integración en $(1)$ puede ser tomado como todo el espacio exterior del conductor.

Podemos cambiar la forma de $(1)$ uso de $\vec E=-\nabla \Phi$ junto con el vector de identidad

$$\nabla \cdot \Phi\,\vec E = \Phi \nabla \cdot \vec E+\nabla \Phi \cdot \vec E\tag2$$

Entonces, tenemos por cualquier superficie conductora $S$

$$\begin{align} W&=\frac{\epsilon_0}{2}\int_V \vec E\cdot \vec E \,dV \\\\ &=-\frac{\epsilon_0}{2}\int_V \nabla \Phi \cdot \vec E \,dV \tag 3\\\\ &=\frac{\epsilon_0}{2}\int_V \Phi \nabla \cdot \vec E-\nabla \cdot (\Phi \vec E) \,dV \tag 4\\\\ &=\frac{\epsilon_0}{2}\oint_S\Phi (\hat n \cdot \vec E)dS \tag 5\\\\ &=\frac{\epsilon_0}{2}\left. \Phi(\vec r)\right|_{\vec r\in S}\frac{Q}{\epsilon_0} \tag 6\\\\ &=\frac12Q\left. \Phi(\vec r)\right|_{\vec r\in S} \tag 7 \end{align}$$

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NOTAS:

En llegando a $(3)$, se utilizó $\vec E = -\nabla \Phi$.

En lo que va de $(3)$ a $(4)$, se utilizó el vector de identidad de $(2)$.

En lo que va de $(4)$ a $(5)$, hemos utilizado el Teorema de la Divergencia, reconociendo que la unidad normal de puntos de $V$ y por lo tanto en la superficie del conductor, que a continuación se absorbe el signo menos en el resultado final, la unidad normal de puntos de un conductor de la superficie. También hemos usado que el de Gauss la Ley, $\nabla \cdot \vec E=\rho/\epsilon_0=0$ en $V$.

En lo que va de $(5)$ a $(6)$, hemos utilizado el hecho de que el potencial es constante en la realización de la superficie y de la forma integral de Gauss la Ley, $\oint \vec E\cdot \hat n dS=Q/\epsilon_0$.

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Por lo tanto, la energía electrostática almacenada está dada por

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{W=\frac12 Q\left. \Phi(\vec r)\right|_{\vec r\in S}} \tag 8$$

Para una esfera conductora, el potencial en la superficie es $\Phi = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0R}$ que de $98)$, inmediatamente se da el resultado

$$W=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0R}$$

como se esperaba!

Así, vemos que uno no necesita integrar a $\vec E\cdot \vec E$ para determinar la energía almacenada! Más bien, simplemente podemos utilizar $(8)$ directamente.

Answer 2

El trabajo realizado para ensamblar todo el sistema, es decir, construirlo desde el radio$r\rightarrow r+ dr$ y la superficie correspondiente, para alcanzar la esfera completa, sería bastante riguroso, así que esa es una opción.

De lo contrario, siempre podría integrar$\frac{\epsilon}{2}\int_VE^2 dV$.

Answer 3

INSINUACIÓN:

Solo se necesitan dos cosas:

1. El campo eléctrico generado por una esfera cargada tiene simetría rotacional.

2. Ley de gauss

De 1. y 2. concluye que el campo fuera de la esfera es el mismo que el campo generado por toda la carga concentrada en el centro, y que el campo dentro de la esfera es cero.