$R$ se llama radio de convergencia de la serie: si la serie $\sum a_n (x-a)^n$ tiene radio de convergencia $R$, entonces la serie converge al $|x-a|<R$ y divergen al $|x-a|>R$. Uno puede calcular el $R=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} {|a_n|\over|a_{n+1}|}$, cuando este límite existe.
La serie no tiene la forma requerida para utilizar el directamente. Sin embargo, si usted toma el límite anterior, obtendrá $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} {|a_n|\over|a_{n+1}|}=3$. Entonces se puede afirmar que:
$\ \ \ $ La serie converge absolutamente al $|x+1|^5< 3$.
$\ \ \ $ La serie diverge al $|x+1|^5>3$.
Usted necesita para resolver la desigualdad $|x+1|^5<3$ a encontrar en el interior del intervalo de convergencia. Al hacerlo da $|x+1|^5<3$ si y sólo si $x$ está en el intervalo de $( -{\root 5\of 3}-1, \root 5\of 3 -1 ) $.
En este punto, podemos decir que la serie converge para $x$ en este intervalo y que la serie diverge para $x$ no en el intervalo de $[ -{\root 5\of 3}-1, \root 5\of 3 -1 ] $
(esta es, precisamente, cuando se $|x+1|^5>3$). Por favor, tenga en cuenta que no sabemos nada acerca de la serie al $x$ es un extremo de este intervalo.
Así:
$\ \ \ 1)$ La serie converge para $x$ en
$( -{\root 5\of 3}-1, \root 5\of 3 -1 ) $
$\ \ \ 2)$ La serie diverge para $x$ no
$[ -{\root 5\of 3}-1, \root 5\of 3 -1 ] $.
Pero, en este punto, y como se mencionó anteriormente, no sabemos cómo la serie se comporta en los extremos del intervalo. Tenemos que examinar la serie se obtuvieron cuando se establezca $x= -{\root 5\of 3}-1$ e $x= \root 5\of 3 -1 $.
Al $x= -{\root 5\of 3}-1$, tenemos la serie
$$
\sum{\log(n+12)\over (n+12)3^n}((-{\raíz 5\3} -1) +1)^{5n}
=\sum{\log(n+12)\over (n+12)3^n}( - 3)^{ n}
=\sum( - 1)^{ n}{\log(n+12)\over (n+12) }
$$
Este es convergente alterna de la serie. Así
$\ \ \ 3)$ El original de la serie converge para
$x= -{\root 5\of 3}-1$
Al $x= {\root 5\of 3}-1$, tenemos la serie
$$
\sum{\log(n+12)\over (n+12)3^n} ( {\raíz 5\3} -1) +1)^{5n}
=\sum{\log(n+12)\over (n+12)3^n}( 3)^{ n}
=\sum {\log(n+12)\over (n+12) }
$$
Uno puede comparar la serie en la parte superior derecha con la serie Armónica para mostrar que diverge.
Así
$\ \ \ 4)$ El original de la serie diverge para
$x= {\root 5\of 3}-1$.
Resumiendo $1)$ a través de $4)$:
La serie converge si ind sólo si $x$ está en el intervalo de $[ -{\root 5\of 3}-1, \root 5\of 3 -1 )$.
Creo que es mejor empezar por el problema mediante la prueba de razón.
Es decir, tomar el límite de $|a_{n+1} x^{5(n+1)}\over |a_n (x+1)^{5n}|$
$$
\lim_{n\rightarrow\infty} {\Bigl|{ \log((n+1)+12) (x+1)^{5(n+1)}\over ((n+1)+12)3^{n+1} }\Bigr|
\sobre \Bigl|{ \log(n+12) (x+1)^{5n}\over (n+12)3^n }\Bigr|}
=\cdots=
\lim_{n\rightarrow\infty} {|x+1|^5\over3}.
$$
Por el Coeficiente de prueba,
la serie convergerá al $ {|x+1|^5\over3}<1$ y divergen cuando
$ {|x+1|^5\over3}>1$ .
Esto nos dice que la serie converge al $ {|x+1|^5 }<3$ y divergen cuando
$ {|x+1|^5 }>3$ .
