Hasta donde yo sé, realmente no hay una manera estándar de la informática sumatorias. A veces una conjetura, que, a continuación, probar inductivamente es suficiente. Muy a menudo se utilizan otros conocidos sumatorias para llegar a la que usted desea (a través de la manipulación algebraica). Hay un gran número de técnicas que he visto a la gente en este sitio, el uso, que están más allá de mí: es un problema difícil en general.
Para tu caso, sin embargo, y muchos similares sumatorias, puede ser razonablemente sistemática: hay dos posibles métodos que puedo ver. La primera es mirar pares de términos, la cual es motivada por el hecho de que la suma de los suplentes, por lo que tal vez parte de ella va a cancelar.
$$(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots+((n-1)^2-n^2)$$
Nota: estoy suponiendo implícitamente que el $n$ es incluso en esta representación, pero podemos volver atrás y hacer el extraño caso más tarde. Ahora, cada parte de esta cantidad entre paréntesis es de la forma:
$$(i-1)^2-i^2=-2i+1$$
por lo tanto, si $n=2k$ es incluso, la suma se convierte en:
\begin{align*}
(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots+((2k-1)^2-(2k)^2) &= (-3)+(-7)+\cdots+(-4k+1) \\
&= -(3+7+\cdots+(4k-1))
\end{align*}
Este balance se ve particularmente simple en comparación: un enfoque sistemático para la computación es de señalar que esto es igual a:
\begin{align*}
-\sum_{i=1}^{k}(4i-1) &= -4\sum_{i=1}^k i+\sum_{i=1}^k 1 \\
&= -\frac{4k(k+1)}{2}+k \\
&= -2k^2-k \\
&= -\frac{n(n+1)}{2}
\end{align*}
Usted puede hacer el mismo tipo de agrupación cuando se $n$ es impar:
$$1^2+(-2^2+3^2)+\cdots+(-(n-1)^2+n^2)$$
y obtener la correspondiente fórmula $\frac{n(n+1)}{2}$.
Nota cómo el hecho de que $\sum_{i=1}^k i=\frac{i(i+1)}{2}$ fue utilizado? Este es un poco más de pan y la mantequilla de hecho, junto con identidades similares para $\sum_{i=1}^k i^p$, para $p=1,2,3,\cdots$. Por ejemplo, si quería para calcular el $$\sum_{i=1}^n (3i^3+7i^2-i+5)$$
entonces yo podría aplicar las fórmulas
$$\sum_{i=1}^n i = \frac{i(i+1)}{2},\;\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\;\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$
para obtener:
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n (3i^3+7i^2-i+5) &= 3\sum_{i=1}^n i^3+7\sum_{i=1}^n i^2-\sum_{i=1}^n i+\sum_{i=1}^n 5 \\
&= 3\cdot\frac{n^2(n+1)^2}{4}+7\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}+5n
\end{align*}
lo que nos permite calcular sistemáticamente una amplia gama de sumatorias.
Teniendo esto en mente, un enfoque alternativo para tratar con la alternancia de sumas, es que dividir en dos cantidades diferentes. Una vez más vamos a tener que lidiar con casos separados para pares e impares, pero esto no es un gran problema. Por ejemplo, si $n=2k+1$ es impar podríamos grupo de la siguiente manera:
\begin{align*}
1^2-2^2+\cdots+(2k+1)^2 &= (1^2+3^2+\cdots+(2k+1)^2)-(2^2+4^2+\cdots+(2k)^2) \\
&= \sum_{i=1}^k (2i+1)^2-\sum_{i=1}^k (2i)^2 \\
&= \sum_{i=1}^k (4i^2+4i+1)-\sum_{i=1}^k 4i^2
\end{align*}
en este punto hay una muy obvia la cancelación, pero en algunos alternando las sumas que esto no ocurrirá.
\begin{align*}
&= 4\sum_{i=1}^k i^2+4\sum_{i=1}^k i + \sum_{i=1}^k 1 - \sum_{i=1}^k 4i^2 \\
&= \frac{4k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{4k(k+1)}{2}+k-\frac{4k(k+1)(2k+1)}{6} \\
&= \vdots \\
&= \frac{n(n+1)}{2}
\end{align*}
Esperemos que le da una manera de ver cómo algunos de estos cálculos puede ser motivada.
