¿Por qué la matriz estándar de esta transformación es como es?

Question

Así que sé que para una rotación simple de$2$ vectores, sé que el vector$\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]$ gira a$\left[\begin{matrix}\cos\phi\\\sin\phi\end{matrix}\right]$ y el vector$\left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right]$ gira a$\left[\begin{matrix}-\sin\phi\\\cos\phi\end{matrix}\right]$. ¿Pero por qué? Puedo ver geométricamente por qué el primer vector gira hacia donde lo hace, ¿pero el segundo vector? ¿Por qué? Simplemente no tiene sentido para mí.

Answer 1

PS

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En otras palabras,$$\cos(\phi + \pi/2) = -\sin(\phi)$ es$[0\ 1]^T$ rotado por$[1\ 0]^T$.

Usando la identidad trigonométrica

PS

con$\pi/2$ y$$\cos(u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$, tenemos

PS

Answer 2

La imagen del primer vector le dice que es la rotación$+\phi$ con la orientación habitual en sentido contrario a las agujas del reloj.

Entonces $$ \ left (\ matrix {0 \\ 1} \ right) = \ left (\ matrix {\ cos (\ pi / 2) \\\ sin (\ pi / 2)} \ right) \ longmapsto \ left (\ matrix {\ cos (\ pi / 2 + \ phi) \\ \ sin (\ pi / 2 + \ phi)} \ right) = \ left (\ matrix {- \ sin (\ phi) \\\ cos (\ phi)} \ derecha). $$