¿Cómo actúan los grupos en los campos de QFT?

Question

He leído un montón de posts sobre cómo verificar cuáles son las simetrías de un dado de Lagrange, pero realmente no puedo encontrar lo que necesito y ni siquiera puede conseguir por mí mismo, porque yo en realidad no entiendo cómo los grupos de transformación de actuar en los campos.

Mi pregunta es bastante general, pero probablemente un ejemplo va a dejar a mí y a otros undersand las respuestas mejor. Considerar para la simplicidad de un lagrangiano describiendo un enorme campo de vectores y un spinor, sin término de interacción

$$\mathcal L = - \frac{1}{2} W^{\mu\nu}W_{\mu\nu}^\dagger + M_W^2W^{\mu}W_{\mu}^\dagger+ \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi$$

y consideremos la transformación interna solamente.

Primera pregunta: quiero encontrar las simetrías de que de lagrange. Como dijo antes no entiendo cómo el campo de transformar cuando se aplica una transformación. Por ejemplo, un $U(1)$ transformación en un spinor $\psi$ le acaba de dar a $e^{i\alpha}\psi$ para algunos $\alpha$ (a la derecha?). Es lo mismo para un campo vectorial, es decir, $$W^{\mu} \stackrel{U(1)}{\longmapsto} e^{i\beta}W^{\mu} ~ ?$$

Segunda pregunta: ¿y los demás gruops como $U(n), SU(n), O(n), SO(n)$, etc? Son grupos de simetría para $\mathcal L$ y ¿cómo se puede calcular cómo los diferentes campos transforma en virtud de estos grupos?

Tercera pregunta: ¿Cuál es el vínculo entre un $U(1)$ transformación y un $gauge$ transformación de $W_{\mu}\to W_\mu + \partial_\mu\varphi(x)$? (En este caso no debemos tener medidor de simetría debido a la $M$plazo, ¿verdad?)

La última pregunta: Son un grupo de representaciones jugando a un juego en todo esto?

Espero que mis preguntas son claras.

Answer 1

Para responder a la última pregunta, en primer lugar, sí, se trata de grupo de representaciones. Hay maneras de transformar el campo cuántico que obedecer las leyes de grupos particulares. Estos se denominan representaciones del grupo, en el espacio de Fock. Fock espacio es el espacio asociado con los estados en QFT. Así que ciertas transformaciones de los vectores y de los operadores de Fock espacio se forma el grupo de las representaciones.

Las transformaciones pueden ser separados en dos categorías. Medidor de transformaciones que, de no cambiar cualquier propiedad observable del sistema, donde como otras transformaciones (como físicamente girar el sistema) puede cambiar propiedades observables. Medidor de transformaciones y simetrías de la Hamiltoniana/de Lagrange son dos conceptos diferentes. Una partícula en un potencial esférico bien tiene una simetría esférica, lo cual no es un indicador de la simetría. Ejemplos de simetría gauge es el círculo de grupo U(1) la simetría de cambio de fase cuántica $$\psi \mapsto e^{i\phi}\psi$$ , así como la capacidad de ajuste (medidor de la libertad), el potencial vector magnético.

El grupo de Lorentz grupo SO(1, 3) y el grupo de Poincaré son de particular interés en QFT.

Aprendí a entender estas transformaciones mirando primero a las transformaciones de libre de campos escalares. Deje $U(\Lambda)$ ser el espacio de Fock representación de una transformación de Lorentz. Que es $U(\Lambda)$ es un elemento del espacio de Fock representación de SO(1,3). $\Lambda$ es el correspondiente de la familiar de 4-vector de la transformación de Lorentz. En campos libres de la acción es como se esperaría. Se transforma de un estado de una partícula de impulso a la producción de un nuevo impulso que está justo a la convencional de la transformación de Lorentz aplica para el impulso original

$$U(\Lambda) \mid \mathbf{p} \rangle = \mid \Lambda \mathbf{p} \rangle $$ Usted puede averiguar cómo funciona en los operadores, teniendo en cuenta lo que sucede a la creación de un operador. $$U(\Lambda) a_+(\mathbf{p}) U(\Lambda)^\dagger =a_+(\Lambda\mathbf{p}) $$

Todos los operadores en el espacio de Fock, tales como los operadores en el Lagrangiano, se puede expresar en términos de la creación y la aniquilación de los operadores. Esto debe darle una idea general de cómo libre de campos escalares transformar. Lo siguiente que necesitamos

a) observar el efecto de la adición de las interacciones

b) considere la posibilidad de la no-campos escalares tales como la Dirac bispinor campo. La Dirac campo tiene su propia representación asociados con su giro

a) a menudo describimos cómo los grupos actúan en los campos a través de los generadores del grupo de transformaciones. Por ejemplo $$U_\text{boost} = \exp(i\beta \cdot \mathbf{K}). $$ Los generadores de un grupo particular de representación de obedecer a un conjunto de relaciones de conmutación. Por ejemplo, con el grupo de Poincaré, todas las representaciones obedecer $$ \begin{align*} \big[K^{i},\, \frac{1}{c}H\big] &= iP^i \\ \left[K^{i},\, P^{j}\right] &= -i\delta_{ij}H/c \end{align*}$$ Debido a $H$ está involucrado aquí, cuando añadimos las interacciones a nuestro campo cambia el impulso resultante del generador con el fin de obtener un invariante de Lorentz de la teoría. Brevemente $$ \begin{align*} H = H_0 \to H_0 + \int d^3x \mathcal{V}(\Psi(\mathbf{x})) \\ K^i = K^i_0 \to K^i_0 + \frac{1}{\hbar c}\int d^3x\, x^i\, \mathcal{V}(\Psi(\mathbf{x})) \end{align*}$$ b) Esta parte se describe el grupo de Poincaré representación de un campo escalar. Los campos que ha presentado, tales Dirac campo es un poco más complicado. El campo de Dirac es un bi-spinor campo. Cuando usted tiene la vuelta, usted tiene la correspondiente representación para la vuelta. En el caso de la ecuación de Dirac (bispinor campo) los generadores de la Lorentz grupo de representación puede ser expresado como $$J^{\rho\sigma}=\frac{i}{4}\big[\gamma^{\rho} ,\,\gamma^{\sigma}\big]$$ Con el impulso de generadores de K dado por $K^{a}= J^{a0}$. La transformación resultante puede ser escrito en términos de izquierda y derecha spinors y las matrices de Pauli $\sigma$. $$\begin{bmatrix} \psi_{L} \\ \psi_{R} \end{bmatrix} \a \begin{bmatrix} e^{-i\boldsymbol{\theta} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}-\boldsymbol{\phi} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}} & 0 \\ 0& e^{-i\boldsymbol{\theta} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}+\boldsymbol{\phi} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_{L} \\ \psi_{R} \end{bmatrix}$$

Para girar o impulsar todo el campo aplicaríamos esta $J^{\rho\sigma}=\frac{i}{4}\big[\gamma^{\rho} ,\,\gamma^{\sigma}\big]$ a girar la bispinor "internamente" y también transformar el spinor para el adecuado girado o aumentar el impulso, como hablamos de un campo escalar.

Cada uno de los escalares del campo tiene su propia representación, describir cómo transformar su giro.

El 3D convencionales rotaciones (SO(3) para los vectores o SU(2) para spinors) son un subconjunto de las transformaciones de Lorentz.

Así que estas reglas deben permitir una para transformar el Lagrangiano de acuerdo a los diversos grupo de representaciones que se aplican al campo. El Lagrangiano puede o no puede ser invariantes bajo algún tipo de transformación.

Hay libros sobre este tema, tales como La Teoría de los Grupos y de la Mecánica Cuántica por Hermann Weyl y también es cubierto en La Teoría Cuántica de Campos, Volumen 1 por Steven Weinberg. Este post es tiempo suficiente y mi experiencia es limitada, así que voy a dejar la pregunta 3 para alguien más, supongo.