Casi seguro convergencia de una cierta secuencia de variables aleatorias

Question

Deje que$(X_n)_{n\geq 1}$ sean variables aleatorias con una distribución uniforme en el intervalo$(0,1)$.

Necesito probar que la siguiente secuencia de variables aleatorias$(Y_n)_n$ está definida por:

PS

converge casi seguramente, y luego computa

PS

No parece ser un problema muy difícil, pero estoy atascado.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Para probar la convergencia casi segura escribe

PS

y aplicar la ley fuerte de los grandes números (dos veces).

Para la segunda parte del problema, use el hecho de que$$Y_n = \frac{X_1^2+\ldots+X_n^2}{n} \frac{n}{X_1+\ldots+X_n}$ para mostrar que

PS

Combine el teorema de convergencia dominado con la primera parte del problema para calcular el límite$0 \leq X_i \leq 1$.

Answer 2

Sugerencia: puede usar la ley fuerte de números grandes (SLLN) simplemente escriba

$$ Y_n = \ frac {X_1 ^ 2 + ... + X_n ^ 2} {n} \ frac {1} {\ frac {X_1 + ... + X_n} {n}}. $$ Ahora, ambas fracciones convergen como en vista de la SLLN, y por lo tanto también lo hace el$Y_n$. También se obtiene la expectativa utilizando además la delimitación de las secuencias.