Encuentre todos los triángulos ABC de tal manera que$AB+AC =2$ cm y$AD+BC = \sqrt{5}$ cm donde AD sea la altitud a través de A.

Question

Encuentre todos los triángulos ABC de tal manera que$AB+AC =2$ cm y$AD+BC = \sqrt{5}$ cm

donde AD es la altitud a través de A.

Tengo 3 ecuaciones pero hay 4 variables. Por lo tanto, no está funcionando. Tal vez la regla del seno pueda funcionar

Answer 1

Dejar $BC=a,CA=b,AB=c$. Además, deje que$S$ sea el área de$\triangle{ABC}$. Luego, teniendo ese$$S=\frac 12\times a\times AD\quad\Rightarrow\quad AD=\frac{2S}{a}=\frac{bc\sin\theta}{a}$$ where $ \ theta = \ angle {BAC} $, tenemos$$c+b=2$ $$$\frac{bc\sin\theta}{a}+a=\sqrt 5$ $ Entonces,$$\sin\theta=\frac{a(\sqrt 5-a)}{b(2-b)}$ $ Por la ley de cosines,$$a^2=b^2+(2-b)^2-2b(2-b)\cos\theta\Rightarrow \cos\theta=\frac{b^2+(2-b)^2-a^2}{2b(2-b)}$ $

Ahora, desde$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$, tenemos$$\left(\frac{b^2+(2-b)^2-a^2}{2b(2-b)}\right)^2+\left(\frac{a(\sqrt 5-a)}{b(2-b)}\right)^2=1,$ $ ie$$4(4-a^2)b^2+8(a^2-4)b+5a^4-8\sqrt 5\ a^3+12a^2+16=0$ $ y entonces tenemos que tener$$(8(a^2-4))^2-4\cdot 4(4-a^2)(5a^4-8\sqrt 5\ a^3+12a^2+16)\ge 0$$$$ \ iff (a-2) (a +2) (\ sqrt 5 \ a-4) ^ 2 \ ge 0 \ iff a = \ frac {4} {\ sqrt 5} \ quad \ text {o} \ quad a \ ge 2 $$

Además, tenemos que tener$$a\lt b+c\iff a\lt 2.$ $

Por lo tanto,$BC=a$ debe ser$\frac{4}{\sqrt 5}$, de lo cual tenemos$AC=AB=1$. Esto es suficiente.

Answer 2

Deje $BC=a$,, a continuación,$h_a=\sqrt5-a$. En una línea recta paralela $BC$, el valor mínimo de la suma de las distancias desde su punto de $A$ a las alturas $B$ e $C$ observado en el caso de un triángulo isósceles. El valor de esta suma es igual a $2\sqrt{(\frac{a}2)^2+(\sqrt5-a)^2}$, y no es $2$. Aquí $\frac{a^2}4+a^2+5-2a\sqrt5\le1$, yo.e $\frac54a^2-2a\sqrt5+4\le0$. El discriminante es cero, y la desigualdad tiene exactamente una raíz $a=\frac45\sqrt5$. El triángulo es isósceles con un lado de la $1$.